Resolução do exame do dia 30-1-98

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    1. Para demonstrar que o campo é conservativo, basta demonstrar que as derivadas cruzadas das três componentes do campo são iguais:
      Ex
      y
      = 4x = Ey
      x

      Ex
      z
      = 0 = Ez
      x

      Ey
      z
      = 24 y z2 = Ez
      y

    2. O potencial no ponto (x,y,z) é igual a menos o integral de linha desde a origem (onde arbitramos V = 0) até o ponto:
      V(x,y,z)
      =
      - x

      0 
      Ex(x,0,0) dx - y

      0 
      Ey(x,y,0) dy - z

      0 
      Ez(x,y,z)  dz
      =
      - x

      0 
      0  dx - 2 x2 y

      0 
       dy - 12 y2 z

      0 
      z2  dz
      =
      -2 y x2 - 4 y2 z3

    3. A densidade de carga pode ser calculada a partir do campo eléctrico usando a forma diferencial da lei de Gauss
      =
      o ·E = o Ex
      x
      + Ey
      y
      + Ez
      z
      =
      o ( 4 y + 8 z3 + 24 y2 z )
      e a carga dentro do cubo obtem-se integrando a densidade de carga dentro do cubo
      q
      =
      0 0,03

      0,02 
      0,03

      0,02 
      0,01

      0 
      ( 4y + 8z3 + 24y2z )  dx  dy  dz
      =
      1
      4k
      [2·10-4(0,032 - 0,022) + 2·10-4(0,034 - 0,024)
      + 4·10-2 (0,033 - 0,023) (0,032 - 0,022)]
      =
      8,89·10-19  C
      (carga de aproximadamente 6 protões!).

  1. A corrente no cilindro pode ser obtida por sobreposição de uma corrente uniforme num cilindro de raio a, com J = 21 A/m2 , mais outra corrente uniforme num cilindro de raio b, com J = -21 A/m2 . O campo magnético no ponto P calcula-se usando a lei de Ampère (a lei de Biot-Savart não pode ser usada por ser válida unicamente para fios unidimensionais). As linhas de campo produzidas por cada cilindro são círculos concêntricos com o respectivo cilindro e raio igual à distância entre o centro e o ponto P; assim para o cilindro de raio b o raio da linha de campo que passa por P é zero, e portanto a corrente interna Ic é também nula e o campo é zero. O campo total será só o campo produzido pelo cilindro de raio a a uma distância b desde o centro:


    C 
    B·dr = 4  km Ic

    2  b B = 4km (b2 J)

    B = 2 b km J = 0,396·10-6  T
    a direcção do campo obtem-se usando a regra da mão direita e segundo o desenho será a direcção do versor  k.

  2. Perto de cada fio, o campo vai ser aproximadamente igual ao campo produzido pelo respectivo fio, e portanto as linhas de campo serão círculos orientados segundo a regra da mão direita:

    a corrente total é (7 - 3 - 3) A = 1 A, para dentro da folha; vistos de longe, os três fios vão parecer um só fio com corrente de 1 A para dentro, cujas linhas de campo correspondem a círculos orientados no sentido horário:

    finalmente, observamos regiões onde a direcção do campo sofre uma inversão, onde deverão necessariamente existir pontos de campo nulo, ou seja pontos onde as linhas de campo aparentemente se cruzam:

    1. O inverso da resistência equivalente é
      1
      R
      = 1
      R1
      + 1
      R2
      como 1/R1 e 1/R2 são números positivos, temos que
      1
      R
      > 1
      R1
             1
      R
      > 1
      R2
      e como as resistências são números positivos
      R < R1        R < R2
      a resistência equivalente é menor que a resistência mais fraca (menor que as duas resistências).

    2. A diferença de potencial de duas resistências em paralelo é a mesma pela própria definição de resistências em paralelo. Usando a lei de Ohm temos que
      V = I1 R1 = I2 R2
      e concluímos que a resistência menor deverá ser atravessada pela corrente maior, para que o produto IR seja constante.

    3. Como já foi dito na alínea anterior, a diferença de potencial é a mesma nas duas resistências.

    4. A potência dissipada em cada resistência é
      Pi = V Ii = V2
      Ri
      como a diferença de potencial é a mesma nas duas resistências, a resistência que dissipa maior potência será a menor das duas.


Jaime Villate