Resolução do exame do dia 16-1-98

Próximo: Exame do dia 30-1-98
Anterior: Exame do dia 16-1-98
Nodo Superior: Índice


    1. O período é o inverso da frequência:
      P = 1
      12·106Hz
      = 8,33·10-8   s
      E o comprimento de onda obtem-se a partir da frequência e da velocidade da luz
      = c
      f
      = 3·108
      12·106
        m = 25  m

    2. A onda é harmónica, já que a sua frequência está bem definida. Para uma onda harmónica, propagando-se na direcção positiva do eixo dos y, o campo eléctrico tem a forma:
      E = Eo cos(ky - t + )

      k = 2

      = 0,2513  m-1

      = 2f = 75,40  MHz
      onde é uma constante de fase. A direcção do campo é a direcção de polarização:
      E = 0,008 cos(0,2513  y - 75,40·106 t + )  i
      (unidades SI). O campo magnético tem a direcção do produto vectorial entre a direcção de propagação ( j) e a direcção do campo eléctrico ( i nos pontos onde a função co-seno for positiva), ou seja a direcção - k. O seu módulo é igual ao módulo do campo eléctrico dividido por c:
      B = - 0,008
      3·108
      cos(0,2513  y - 75,40·106t + )  k

      B = -2,67·10-11 cos(0,2513  y - 75,40·106t + )  k

    1. No primeiro caso temos o seguinte diagrama de circuito

      onde r é a resistência interna e E a f.e.m. A diferença de potencial entre os terminais da bateria é
      V = E - 3r = 4,5  V

    2. No segundo caso:

      a diferença de potencial entre os terminais da bateria é agora
      V = E + 2r = 12 V
      (no circuito repare que o sinal da diferença de potencial na f.e.m. e na resistência interna é o mesmo). Resolvendo as duas equações anteriores, encontramos os valores da f.e.m. e da resistência interna:
      5 r = 12 - 4,5               r = 1,5

      E = 3r + 4,5 = 9 V

  1. Quando ignoramos os efeitos das bordas, admitimos que o campo eléctrico no condensador é constante, a densidade superficial de carga (o) constante, e usando a lei de Gauss obtemos que E = o/o . A diferença de potencial entre as armaduras é igual à área sob a curva do campo eléctrico:

    em que x é a distância ao longo de uma linha de campo. A situação real, considerando efeitos das bordas, apresenta duas diferenças; por um lado, a medida que x aumenta, o campo diminui até x = d/2 e volta a aumentar, já que as linhas de campo afastam-se e voltam a juntarem-se. Por outro lado, a densidade superficial de carga já não é constante; acumulam-se mais cargas nas bordas e menos no centro. Existe ainda uma linha de campo perpendicular às armaduras (no centro) e ao longo dela o campo será na forma seguinte:

    Consequentemente, a diferença de potencial diminui. A capacidade é dada por
    C = Q
    V
    a carga obviamente é constante (estamos ao olhar ao mesmo sistema numa forma mais realista) e portanto a capacidade é maior quando consideramos os efeitos das bordas.

  2. Os electrões de condução vão sentir uma força magnética para baixo (regra da mão direita) de módulo
    Fm = evB
    Quando a barra atingir o equilíbrio electrostático, existirá um campo eléctrico para baixo, o qual produz uma força eléctrica para cima, sobre os electrões de condução, igual e oposta à força magnética
    Fe = eE = evB               E = vB
    Como a força magnética sobre cada electrão é a mesma em qualquer ponto na barra, o campo eléctrico deverá ser constante e a diferença de potencial será
    Va - Vb = E dab = v B dab = (0,18) (0,09) (3,5·10-4)   V

    Va - Vb = 5.67·10-6  V

  3. A distribuição de carga tem simetria esférica já que só depende da distância à origem (r). Assim, podemos aplicar a lei de Gauss para calcular o campo eléctrico, já que qualquer esfera com centro na origem será uma superfície Gaussiana. O fluxo a través das esferas Gaussianas é
    = 4 r2 E = 4 k qi               E = kqi
    r2
    onde qi é a carga no interior da esfera de raio r, a qual calcula-se por integração da densidade de carga dentro do volume da esfera. Temos dois casos: quando r é menor que 0,1
    qi = 4 r

    0 
     r2 dr = 4(0,05) r

    0 
    e-3r dr = 0,2094 (1 - e-3r)

    E = 1,88·109 1 - e-3r
    r2
    Quando r é maior ou igual a 0,1 temos
    qi = 4 r

    0 
    r2 dr = 4(0,05) 0,1

    0 
    e-3r dr = 0,2094(1 - e-0,3)

    E = 4,89·108
    r2
    Nos dois casos o campo é na direcção radial.


Jaime Villate