Resolução do exame do dia 8-1-99

Próximo: Exame do dia 16-1-98
Anterior: Exame do dia 8-1-99
Nodo Superior: Índice

  1. A força total é dada pelo integral
    F = Q

    P 
    I×B  ds
    Num ponto qualquer do arco, a corrente é tangente ao arco e podemos definir os eixos da seguinte forma:

    assim, a corrente é no sentido oposto do versor e
    I
    =
    -I e
    B
    = 6 -B  k
    I×B
    =
    IBer
    ds
    =
    -r d
    F
    =
    -r I B 0

     
    er d
    O versor radial depende do ângulo :
    er = cos  i+ sin  j

      F = r I B -sin  i+ cos   j 0

     
    = 2 r I B  j = 0,0375  j  (T)

  2. A carga inicial Q0 redistribui-se entre as duas esferas, ficando estas com cargas finais Q1 e Q2. Por conservação da carga, sabemos que
    Q0 = Q1 + Q2
    ligando as duas esferas com o fio condutor, o potencial nelas será idêntico (V1 = V2). Como o potencial na superfície de uma esfera é igual a kQ/r, obtemos a seguinte equação:
    k Q1
    r1
    = k Q2
    r2
           Q1 = r1
    r2
    Q2
    substituindo na equação anterior, obtemos
    Q2 = r2
    r1 + r2
    Q0 = 1,15·10-9   C
    e a carga na outra esfera é
    Q1 = r1
    r1 + r2
    Q0 = 3,846·10-9   C

  3. Os campos de qualquer onda electromagnética no vazio são necessariamente perpendiculares entre si e perpendiculares à velocidade de propagação. Assim, num ponto P podemos definir os eixos x e y nas direcções de B e de E, respectivamente
    B = B  i       E = E  k
    além disso, sabemos também que E = cB. Usando a primeira e terceira equações de Maxwell:
    ·E = 0        ·B = 0
    obtemos
    E
    z
    = 0        B
    x
    = 0
    e substituindo a relação E = cB, obtemos
    B
    z
    = 0        E
    x
    = 0
    Como as derivadas parciais dos campos em ordem a x e z são nulas, os campos não dependem de x ou de z no ponto P. Se a onda for plana, a velocidade em qualquer outro ponto será na mesma direcção e o argumento anterior também será válido.

  4. Num instante t > 0, a espira estará localizada na posição (unidades SI):
    3 t y   3 t + 0,2
    z0 z   z0 + 0,3
    O fluxo através da espira é igual a
    =
    3t+0,2

    3t 
       z0+0,3

    z0 
    (6 - y) dz  dy
    =
    0,3 6 y - y2
    2
    3t + 0,2

    3t 
    =
    0,36 + 0,15 [ 9 t2 - (3 t + 0,2)2 ]
    A fem induzida é:
    d
    dt
    = 2,7 t - 0,9 (3 t + 0,2) = - 0,18

    No instante t = 0, o fluxo magnético é no sentido do versor  i e diminui. Assim, o aumento do fluxo é no sentido oposto a  i e a lei de Lenz implica que o sentido da fem induzida seja anti-horário, visto desde o lado esquerdo. Em qualquer instante t > 0, a fem induzida é 0,18   V, no sentido anti-horário visto desde a esquerda.

  5. Como a carga volúmica não depende de nem de z, existe simetria cilíndrica e o campo será na direcção radial. Qualquer cilindro com eixo sobre o eixo dos z é uma superfície gaussiana. Aplicando a lei de Gauss obtemos o módulo do campo eléctrico:
    E = 4 k qi
    A
    onde qi é a carga dentro do cilindro gaussiano e A é a área onde existe fluxo, que neste caso é a superfície curva do cilindro de raio r e comprimento L
    A = 2 r L
    portanto, o módulo do campo eléctrico é
    E = 2 k qi
    r L

    Para calcular a carga interna é preciso considerar dois casos:

    1. Pontos onde r b (cilindro gaussiano com raio menor que b)
      qi = L

      0 
      2

      0 
      r

      0 
      a r (r dr d dz) = 2
      3
      a L r3
      e o módulo do campo é
      E = 4
      3
      k a r2

    2. Pontos onde r b (cilindro gaussiano com raio maior que b) .
      qi = L

      0 
      2

      0 
      b

      0 
      a r (r dr d dz) = 2
      3
      a L b3
      e o módulo do campo é
      E = 4 k a b3
      3 r


Jaime Villate