Resolução do exame do dia 29-1-99

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  1. As linhas de campo de F apontam na direcção radial e, portanto, o desenho das linhas de campo é:

    Em qualquer ponto, o campo G é perpendicular ao versor  k e ao versor radial; assim, G tem a mesma direcção e sentido que o versor e e as linhas de campo são circunferências paralelas ao plano xy, com centro no eixo dos z:

    A divergência de F é:
    ·(x i+ y j+ z k) = x
    x
    + y
    y
    + z
    z
    = 3
    Em função das coordenadas cartesianas, o campo G é
    G =  k×(x i+ y j+ z k) = x j- y i
    e o seu rotacional é igual a







     i
     j
     k
      
    x
      
    y
      
    z
    -y
    x
    0







    = - x
    z
     i- y
    z
     j + x
    x
     k+ y
    y
     k = 2 k

  2. A carga é igual nos dois condensadores, por estarem em série, e é igual à carga no condensador equivalente
    Q = Ceq V

    Ceq = 10·20
    10 + 20
      F = 20
    3
      F       Q = 8  mC
    Após a fonte ter sido desligada e os condensadores ligados entre si, a diferença de potencial nos dois condensadores será igual e, portanto, a carga em cada um será directamente proporcional às suas capacidades:
    Q2 = 2 Q1
    onde Q1 e Q2 são as cargas nos condensadores de 10 F e 20 F, respectivamente. Por conservação da carga, sabemos também que
    Q1 + Q2 = 3 Q1 = 8  mC
    assim, as cargas finais são Q1 = 8/3  mC e Q2 = 16/3  mC.

  3. Como o campo de indução magnética é uniforme e perpendicular ao plano do anel condutor, o fluxo através deste será:
    = B  dA = B A = 0,6 r2  e-t/15
    e a fem induzida é igual a
    E = - d
    dt
    = r2
    25
     e-t/15
    esta fem induzida é igual ao integral de linha do campo eléctrico induzido, ao longo do anel. Como o campo induzido tem módulo constante e segue a direcção tangente ao anel, o seu integral de linha ao longo do anel será
    E = 2 r Ei
    comparando as duas equações anteriores, obtemos o módulo do campo eléctrico induzido
    Ei = r
    50
     e-t/15 = 0,0018  e-t/15
    A a sua direcção, como já foi dito, é tangente ao anel. Para encontrar o sentido do campo eléctrico induzido, observamos que como o módulo de B diminui, a derivada do campo B aponta para fora da folha de papel. Segundo a lei de Lenz, o campo magnético induzido apontará para dentro da folha de papel, o que implica uma corrente e um campo eléctrico induzido no sentido horário.

  4. A resistência equivalente a três resistências iguais, ligadas em paralelo, é igual a um terço de cada uma das resistências. E a resistência equivalente quando as três resistências são ligadas em série é três vezes maior que a resistência de cada uma delas. Assim, a resistência equivalente é 9 vezes maior no caso das resistências estarem ligadas em série. Como a potência dissipada numa resistência é igual a
    P = V2
    R
    e a diferença de potencial é constante (a fonte de tensão é a mesma), a potência dissipada é inversamente proporcional à resistência e, portanto, a potência dissipada nas resistências ligadas em série será 9 vezes menor que o valor inicial de 7,8 W
    P = 7,8
    9
     W = 0,8667 W

  5. Se escolhermos o eixo dos z sobre o eixo do cilindro (no sentido da corrente), e como a densidade de corrente depende unicamente da distância ao eixo, existe simetria cilíndrica e as linhas de indução magnética serão circunferências paralelas ao cilindro e com centro no eixo dos z (ver desenho das linhas do campo G no problema 1). O integral de linha do campo B, ao longo de uma linha de indução de raio r é



    C 
    B· dr = B  ds = 2r B

    Usando a lei de Ampère, obtemos



    C 
    B· dr = 4km IC  .
    Comparando as duas equações concluímos que:
    B = 2km IC
    r
      .

    Se r for menor que o raio do cilindro, a corrente através de C será:
    IC = J  dA = A 2

    0 
    r

    0 
    r4  dr  d = 2
    5
    A r5
    Se r for maior que o raio do cilindro, o integral de J é no intervalo 0 r a e a corrente é igual a
    IC = 2
    5
    A a5

    Assim, o campo será
    B =
    4 km A a5
    5 r
    r a
    4 km A r4
    5
    r < a


Jaime Villate