Ano lectivo 1997-98

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Exame do dia 16-1-98

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Docentes: Jaime Villate e Ana Paula Barbosa
Duração: 2 horas.

Pode responder em qualquer ordem e a lápis. Com consulta do formulário.

  1. (3 valores) Considere uma onda electromagnética plana, polarizada linearmente na direcção do eixo dos x, que se propaga na direcção positiva do eixo dos y. A sua frequência é de 12 MHz e a sua amplitude é Eo = 0,008 V/m; (a) calcule o período e o comprimento de onda (b) escreva uma expressão para E(t) e para B(t).

  2. (3 valores) A diferença de potencial entre os terminais de uma bateria é 4,5 V quando a bateria é percorrida por uma corrente de 3 A, na direcção do terminal negativo para o positivo. Quando a corrente é de 2 A, na direcção oposta, a diferença de potencial aumenta até 12 V. (a) Calcule a resistência interna da bateria; (b) qual é a f.e.m. da bateria?

  3. (4 valores) Calcula-se em geral a capacidade de um condensador plano desprezando os efeitos das bordas, isto é, supondo o campo interno uniforme e o campo externo nulo. Quando se consideram os efeitos de bordas, o valor exacto da capacidade é superior ou inferior a este valor aproximado? (justifique claramente a sua resposta).

  4. (4 valores) Uma barra metálica de comprimento l = 9 cm desloca-se com velocidade uniforme v = 18 cm/s, dentro de um campo magnético uniforme B = 3,5 G, perpendicular à barra (ver figura). Calcule a diferença de potencial Va - Vb.

  5. (6 valores) Calcule o campo eléctrico produzido pela distribuição de carga (em unidades SI)
    (r) =
    0,05
    r2
    e-3r
    0 r 0,1
    0
    0,1 < r


Resolução do exame do dia 16-1-98

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    1. O período é o inverso da frequência:
      P = 1
      12·106Hz
      = 8,33·10-8   s
      E o comprimento de onda obtem-se a partir da frequência e da velocidade da luz
      = c
      f
      = 3·108
      12·106
        m = 25  m

    2. A onda é harmónica, já que a sua frequência está bem definida. Para uma onda harmónica, propagando-se na direcção positiva do eixo dos y, o campo eléctrico tem a forma:
      E = Eo cos(ky - t + )

      k = 2

      = 0,2513  m-1

      = 2f = 75,40  MHz
      onde é uma constante de fase. A direcção do campo é a direcção de polarização:
      E = 0,008 cos(0,2513  y - 75,40·106 t + )  i
      (unidades SI). O campo magnético tem a direcção do produto vectorial entre a direcção de propagação ( j) e a direcção do campo eléctrico ( i nos pontos onde a função co-seno for positiva), ou seja a direcção - k. O seu módulo é igual ao módulo do campo eléctrico dividido por c:
      B = - 0,008
      3·108
      cos(0,2513  y - 75,40·106t + )  k

      B = -2,67·10-11 cos(0,2513  y - 75,40·106t + )  k

    1. No primeiro caso temos o seguinte diagrama de circuito

      onde r é a resistência interna e E a f.e.m. A diferença de potencial entre os terminais da bateria é
      V = E - 3r = 4,5  V

    2. No segundo caso:

      a diferença de potencial entre os terminais da bateria é agora
      V = E + 2r = 12 V
      (no circuito repare que o sinal da diferença de potencial na f.e.m. e na resistência interna é o mesmo). Resolvendo as duas equações anteriores, encontramos os valores da f.e.m. e da resistência interna:
      5 r = 12 - 4,5               r = 1,5

      E = 3r + 4,5 = 9 V

  1. Quando ignoramos os efeitos das bordas, admitimos que o campo eléctrico no condensador é constante, a densidade superficial de carga (o) constante, e usando a lei de Gauss obtemos que E = o/o . A diferença de potencial entre as armaduras é igual à área sob a curva do campo eléctrico:

    em que x é a distância ao longo de uma linha de campo. A situação real, considerando efeitos das bordas, apresenta duas diferenças; por um lado, a medida que x aumenta, o campo diminui até x = d/2 e volta a aumentar, já que as linhas de campo afastam-se e voltam a juntarem-se. Por outro lado, a densidade superficial de carga já não é constante; acumulam-se mais cargas nas bordas e menos no centro. Existe ainda uma linha de campo perpendicular às armaduras (no centro) e ao longo dela o campo será na forma seguinte:

    Consequentemente, a diferença de potencial diminui. A capacidade é dada por
    C = Q
    V
    a carga obviamente é constante (estamos ao olhar ao mesmo sistema numa forma mais realista) e portanto a capacidade é maior quando consideramos os efeitos das bordas.

  2. Os electrões de condução vão sentir uma força magnética para baixo (regra da mão direita) de módulo
    Fm = evB
    Quando a barra atingir o equilíbrio electrostático, existirá um campo eléctrico para baixo, o qual produz uma força eléctrica para cima, sobre os electrões de condução, igual e oposta à força magnética
    Fe = eE = evB               E = vB
    Como a força magnética sobre cada electrão é a mesma em qualquer ponto na barra, o campo eléctrico deverá ser constante e a diferença de potencial será
    Va - Vb = E dab = v B dab = (0,18) (0,09) (3,5·10-4)   V

    Va - Vb = 5.67·10-6  V

  3. A distribuição de carga tem simetria esférica já que só depende da distância à origem (r). Assim, podemos aplicar a lei de Gauss para calcular o campo eléctrico, já que qualquer esfera com centro na origem será uma superfície Gaussiana. O fluxo a través das esferas Gaussianas é
    = 4 r2 E = 4 k qi               E = kqi
    r2
    onde qi é a carga no interior da esfera de raio r, a qual calcula-se por integração da densidade de carga dentro do volume da esfera. Temos dois casos: quando r é menor que 0,1
    qi = 4 r

    0 
     r2 dr = 4(0,05) r

    0 
    e-3r dr = 0,2094 (1 - e-3r)

    E = 1,88·109 1 - e-3r
    r2
    Quando r é maior ou igual a 0,1 temos
    qi = 4 r

    0 
    r2 dr = 4(0,05) 0,1

    0 
    e-3r dr = 0,2094(1 - e-0,3)

    E = 4,89·108
    r2
    Nos dois casos o campo é na direcção radial.


Exame do dia 30-1-98

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Docentes: Jaime Villate e Ana Paula Barbosa
Duração: 2 horas.

Pode responder em qualquer ordem e a lápis. O formulário encontra-se no outro lado desta folha.

  1. O campo eléctrico numa região do espaço é igual a (unidades SI)
    E = 4 x y  i+ (2 x2 + 8 y z3)  j+ 12 y2 z2  k

    1. (2 valores) Demonstre que o campo E é conservativo.
    2. (3 valores) Calcule o potencial electrostático (defina V = 0 na origem).
    3. (4 valores) Calcule a carga total dentro do cubo: 0 x 1  cm , 2  cm y 3  cm e 2  cm z 3  cm .

  2. (4 valores) A figura representa o corte transversal dum cilindro sólido, muito comprido, de raio a = 9 cm, que tem uma cavidade cilíndrica de raio b = 3 cm, como se mostra na figura. No cilindro flui uma corrente de densidade uniforme, J = 21  A/m2 . Calcule o campo magnético B no ponto P .

  3. (3 valores) As correntes nos três fios na figura são I1 = 3 A, I2 = 3 A e I3 = 7 A. Desenhe as linhas de campo magnético do sistema.

  4. (4 valores) Se duas resistências forem ligadas em paralelo,

    1. a resistência equivalente é superior à mais forte, intermédia entre a maior e a mais pequena ou inferior à mais fraca?
    2. qual delas é atravessada pela corrente mais intensa?
    3. nos terminais de qual a diferença de potencial é maior?
    4. em qual é dissipada maior potência na forma de calor?


Resolução do exame do dia 30-1-98

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    1. Para demonstrar que o campo é conservativo, basta demonstrar que as derivadas cruzadas das três componentes do campo são iguais:
      Ex
      y
      = 4x = Ey
      x

      Ex
      z
      = 0 = Ez
      x

      Ey
      z
      = 24 y z2 = Ez
      y

    2. O potencial no ponto (x,y,z) é igual a menos o integral de linha desde a origem (onde arbitramos V = 0) até o ponto:
      V(x,y,z)
      =
      - x

      0 
      Ex(x,0,0) dx - y

      0 
      Ey(x,y,0) dy - z

      0 
      Ez(x,y,z)  dz
      =
      - x

      0 
      0  dx - 2 x2 y

      0 
       dy - 12 y2 z

      0 
      z2  dz
      =
      -2 y x2 - 4 y2 z3

    3. A densidade de carga pode ser calculada a partir do campo eléctrico usando a forma diferencial da lei de Gauss
      =
      o ·E = o Ex
      x
      + Ey
      y
      + Ez
      z
      =
      o ( 4 y + 8 z3 + 24 y2 z )
      e a carga dentro do cubo obtem-se integrando a densidade de carga dentro do cubo
      q
      =
      0 0,03

      0,02 
      0,03

      0,02 
      0,01

      0 
      ( 4y + 8z3 + 24y2z )  dx  dy  dz
      =
      1
      4k
      [2·10-4(0,032 - 0,022) + 2·10-4(0,034 - 0,024)
      + 4·10-2 (0,033 - 0,023) (0,032 - 0,022)]
      =
      8,89·10-19  C
      (carga de aproximadamente 6 protões!).

  1. A corrente no cilindro pode ser obtida por sobreposição de uma corrente uniforme num cilindro de raio a, com J = 21 A/m2 , mais outra corrente uniforme num cilindro de raio b, com J = -21 A/m2 . O campo magnético no ponto P calcula-se usando a lei de Ampère (a lei de Biot-Savart não pode ser usada por ser válida unicamente para fios unidimensionais). As linhas de campo produzidas por cada cilindro são círculos concêntricos com o respectivo cilindro e raio igual à distância entre o centro e o ponto P; assim para o cilindro de raio b o raio da linha de campo que passa por P é zero, e portanto a corrente interna Ic é também nula e o campo é zero. O campo total será só o campo produzido pelo cilindro de raio a a uma distância b desde o centro:


    C 
    B·dr = 4  km Ic

    2  b B = 4km (b2 J)

    B = 2 b km J = 0,396·10-6  T
    a direcção do campo obtem-se usando a regra da mão direita e segundo o desenho será a direcção do versor  k.

  2. Perto de cada fio, o campo vai ser aproximadamente igual ao campo produzido pelo respectivo fio, e portanto as linhas de campo serão círculos orientados segundo a regra da mão direita:

    a corrente total é (7 - 3 - 3) A = 1 A, para dentro da folha; vistos de longe, os três fios vão parecer um só fio com corrente de 1 A para dentro, cujas linhas de campo correspondem a círculos orientados no sentido horário:

    finalmente, observamos regiões onde a direcção do campo sofre uma inversão, onde deverão necessariamente existir pontos de campo nulo, ou seja pontos onde as linhas de campo aparentemente se cruzam:

    1. O inverso da resistência equivalente é
      1
      R
      = 1
      R1
      + 1
      R2
      como 1/R1 e 1/R2 são números positivos, temos que
      1
      R
      > 1
      R1
             1
      R
      > 1
      R2
      e como as resistências são números positivos
      R < R1        R < R2
      a resistência equivalente é menor que a resistência mais fraca (menor que as duas resistências).

    2. A diferença de potencial de duas resistências em paralelo é a mesma pela própria definição de resistências em paralelo. Usando a lei de Ohm temos que
      V = I1 R1 = I2 R2
      e concluímos que a resistência menor deverá ser atravessada pela corrente maior, para que o produto IR seja constante.

    3. Como já foi dito na alínea anterior, a diferença de potencial é a mesma nas duas resistências.

    4. A potência dissipada em cada resistência é
      Pi = V Ii = V2
      Ri
      como a diferença de potencial é a mesma nas duas resistências, a resistência que dissipa maior potência será a menor das duas.


Exame do dia 13-2-98

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Docentes: Jaime Villate e Ana Paula Barbosa
Duração: 2 horas.

Pode responder em qualquer ordem e a lápis. O formulário encontra-se no outro lado desta folha.

  1. (4 valores) No circuito que aparece na figura, a leitura do amperímetro é a mesma quando os dois interruptores estão abertos e quando os dois estão fechados. Calcule a resistência R.

  2. (4 valores) Um condutor esférico oco tem raio interno a e externo b. Uma carga pontual positiva q está no centro da esfera e o condutor está descarregado. Calcule o potencial V(r) em todos os pontos, admitindo que V = 0 em r = , e desenhe o gráfico de V(r).

  3. (5 valores) Um fio condutor fino tem uma densidade linear de carga uniforme e está encurvado formando um arco circular que subtende um ângulo 2 o, conforme mostra a figura. Mostre que o campo eléctrico no ponto O tem módulo E = (2 k  sin o)/R.

  4. (4 valores) Uma espira quadrada de cobre, com 4 cm de lado encontra-se sobre a superfície horizontal de uma mesa. Um electroíman está colocado por cima da mesa, com o seu pólo norte um pouco acima e à esquerda da espira, de maneira que o campo magnético é aproximadamente uniforme e aponta para baixo através da espira, formando um ângulo de 30° com a vertical. Calcule a fem média induzida na espira a medida que o campo magnético varia desde zero até o seu valor final de 0.5 T, em 200 ms. Qual será a direcção da corrente induzida?

  5. (3 valores) Defina: onda plana, onda polarizada e onda harmónica.

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Jaime Villate