Ano lectivo 1998-99

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Exame do dia 29-1-99

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Docentes: Jaime Villate e Inês Freitas
Duração: 2 horas

Com consulta de formulário. Pode responder a lápis e em qualquer ordem.

  1. (3 valores) Represente as linhas de campo dos campos F = r e G =  k×r, onde r é o vector posição. Demonstre que em qualquer ponto a divergência de F é igual a 3 e o rotacional de G é igual a 2 k.

  2. (4 valores) Dois condensadores de 10 F e 20 F são ligados em série a uma fonte de 1200 V. Calcule a carga em cada condensador. A fonte é logo desligada, ligando entre si os terminais dos condensadores que estavam em contacto com a fonte. Calcule a diferença de potencial e carga final em cada condensador.

  3. (5 valores) No interior do círculo a tracejado na figura, existe um campo de indução magnética apontando para dentro do papel e com módulo igual a 0,6 e-t/15 (unidades SI, t = tempo). Calcule o módulo e direcção do campo eléctrico induzido dentro do anel condutor de raio r = 9 cm.

  4. (4 valores) Quando três resistências idênticas são ligadas em paralelo a uma fonte de tensão, a potência total dissipada é 7,8 W. Qual será a potência dissipada quando as três resistências forem ligadas em série à mesma fonte?

  5. (4 valores) Um fio cilíndrico de cobre, de raio a, conduz uma corrente I. A corrente está distribuída de forma não-uniforme, com J = A r3, onde r é a distância até o eixo do fio e A uma constante. Calcule o campo de indução magnética B no interior e no exterior do fio, usando a lei de Ampère.


Resolução do exame do dia 29-1-99

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  1. As linhas de campo de F apontam na direcção radial e, portanto, o desenho das linhas de campo é:

    Em qualquer ponto, o campo G é perpendicular ao versor  k e ao versor radial; assim, G tem a mesma direcção e sentido que o versor e e as linhas de campo são circunferências paralelas ao plano xy, com centro no eixo dos z:

    A divergência de F é:
    ·(x i+ y j+ z k) = x
    x
    + y
    y
    + z
    z
    = 3
    Em função das coordenadas cartesianas, o campo G é
    G =  k×(x i+ y j+ z k) = x j- y i
    e o seu rotacional é igual a







     i
     j
     k
      
    x
      
    y
      
    z
    -y
    x
    0







    = - x
    z
     i- y
    z
     j + x
    x
     k+ y
    y
     k = 2 k

  2. A carga é igual nos dois condensadores, por estarem em série, e é igual à carga no condensador equivalente
    Q = Ceq V

    Ceq = 10·20
    10 + 20
      F = 20
    3
      F       Q = 8  mC
    Após a fonte ter sido desligada e os condensadores ligados entre si, a diferença de potencial nos dois condensadores será igual e, portanto, a carga em cada um será directamente proporcional às suas capacidades:
    Q2 = 2 Q1
    onde Q1 e Q2 são as cargas nos condensadores de 10 F e 20 F, respectivamente. Por conservação da carga, sabemos também que
    Q1 + Q2 = 3 Q1 = 8  mC
    assim, as cargas finais são Q1 = 8/3  mC e Q2 = 16/3  mC.

  3. Como o campo de indução magnética é uniforme e perpendicular ao plano do anel condutor, o fluxo através deste será:
    = B  dA = B A = 0,6 r2  e-t/15
    e a fem induzida é igual a
    E = - d
    dt
    = r2
    25
     e-t/15
    esta fem induzida é igual ao integral de linha do campo eléctrico induzido, ao longo do anel. Como o campo induzido tem módulo constante e segue a direcção tangente ao anel, o seu integral de linha ao longo do anel será
    E = 2 r Ei
    comparando as duas equações anteriores, obtemos o módulo do campo eléctrico induzido
    Ei = r
    50
     e-t/15 = 0,0018  e-t/15
    A a sua direcção, como já foi dito, é tangente ao anel. Para encontrar o sentido do campo eléctrico induzido, observamos que como o módulo de B diminui, a derivada do campo B aponta para fora da folha de papel. Segundo a lei de Lenz, o campo magnético induzido apontará para dentro da folha de papel, o que implica uma corrente e um campo eléctrico induzido no sentido horário.

  4. A resistência equivalente a três resistências iguais, ligadas em paralelo, é igual a um terço de cada uma das resistências. E a resistência equivalente quando as três resistências são ligadas em série é três vezes maior que a resistência de cada uma delas. Assim, a resistência equivalente é 9 vezes maior no caso das resistências estarem ligadas em série. Como a potência dissipada numa resistência é igual a
    P = V2
    R
    e a diferença de potencial é constante (a fonte de tensão é a mesma), a potência dissipada é inversamente proporcional à resistência e, portanto, a potência dissipada nas resistências ligadas em série será 9 vezes menor que o valor inicial de 7,8 W
    P = 7,8
    9
     W = 0,8667 W

  5. Se escolhermos o eixo dos z sobre o eixo do cilindro (no sentido da corrente), e como a densidade de corrente depende unicamente da distância ao eixo, existe simetria cilíndrica e as linhas de indução magnética serão circunferências paralelas ao cilindro e com centro no eixo dos z (ver desenho das linhas do campo G no problema 1). O integral de linha do campo B, ao longo de uma linha de indução de raio r é



    C 
    B· dr = B  ds = 2r B

    Usando a lei de Ampère, obtemos



    C 
    B· dr = 4km IC  .
    Comparando as duas equações concluímos que:
    B = 2km IC
    r
      .

    Se r for menor que o raio do cilindro, a corrente através de C será:
    IC = J  dA = A 2

    0 
    r

    0 
    r4  dr  d = 2
    5
    A r5
    Se r for maior que o raio do cilindro, o integral de J é no intervalo 0 r a e a corrente é igual a
    IC = 2
    5
    A a5

    Assim, o campo será
    B =
    4 km A a5
    5 r
    r a
    4 km A r4
    5
    r < a


Exame do dia 8-1-99

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Docentes: Jaime Villate e Inês Freitas
Duração: 2 horas

Pode responder a lápis e em qualquer ordem. Com consulta do formulário.

  1. (4 valores) O fio da figura transporta uma corrente I = 5  A e encontra-se dentro de um campo de indução magnética B = 125  G, uniforme e para dentro da folha de papel. Calcule a força magnética total sobre o arco PQ de raio r = 3  cm.

  2. (4 valores) Uma esfera metálica isolada, de 1  m de raio tem uma carga inicial de 5×10-9  C. A esfera é ligada a outra esfera condutora isolada, de 30  cm de raio, inicialmente descarregada, por meio de um fio condutor. Calcule a carga em cada esfera, no estado de equilíbrio, desprezando a carga armazenada no fio e admitindo que as esferas estão bastante afastadas entre si.

  3. (3 valores) Explique porque os campos E e B de uma onda electromagnética plana, que se propaga no vazio na direcção do eixo dos y, não podem depender de x ou de z.

  4. (5 valores) Uma espira condutora rectangular, paralela ao plano yz, desloca-se com velocidade uniforme v = 3 j  (m/s) dentro de uma região onde existe um campo de indução magnética (unidades SI):
    Bx = (6 - y)        By = Bz = 0
    Calcule a fem induzida na espira, em função do tempo t, a partir do instante t = 0 em que a espira se encontra na posição da figura.

  5. (4 valores) Calcule o campo eléctrico devido à distribuição de carga volúmica (unidades SI):
    (r,,z) =
    a r  ,
    r b,  - < z <
    0  ,
    r > b,  - < z <
    onde (r, , z) são as coordenadas cilíndricas, e a e b são constantes.


Resolução do exame do dia 8-1-99

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  1. A força total é dada pelo integral
    F = Q

    P 
    I×B  ds
    Num ponto qualquer do arco, a corrente é tangente ao arco e podemos definir os eixos da seguinte forma:

    assim, a corrente é no sentido oposto do versor e
    I
    =
    -I e
    B
    = 6 -B  k
    I×B
    =
    IBer
    ds
    =
    -r d
    F
    =
    -r I B 0

     
    er d
    O versor radial depende do ângulo :
    er = cos  i+ sin  j

      F = r I B -sin  i+ cos   j 0

     
    = 2 r I B  j = 0,0375  j  (T)

  2. A carga inicial Q0 redistribui-se entre as duas esferas, ficando estas com cargas finais Q1 e Q2. Por conservação da carga, sabemos que
    Q0 = Q1 + Q2
    ligando as duas esferas com o fio condutor, o potencial nelas será idêntico (V1 = V2). Como o potencial na superfície de uma esfera é igual a kQ/r, obtemos a seguinte equação:
    k Q1
    r1
    = k Q2
    r2
           Q1 = r1
    r2
    Q2
    substituindo na equação anterior, obtemos
    Q2 = r2
    r1 + r2
    Q0 = 1,15·10-9   C
    e a carga na outra esfera é
    Q1 = r1
    r1 + r2
    Q0 = 3,846·10-9   C

  3. Os campos de qualquer onda electromagnética no vazio são necessariamente perpendiculares entre si e perpendiculares à velocidade de propagação. Assim, num ponto P podemos definir os eixos x e y nas direcções de B e de E, respectivamente
    B = B  i       E = E  k
    além disso, sabemos também que E = cB. Usando a primeira e terceira equações de Maxwell:
    ·E = 0        ·B = 0
    obtemos
    E
    z
    = 0        B
    x
    = 0
    e substituindo a relação E = cB, obtemos
    B
    z
    = 0        E
    x
    = 0
    Como as derivadas parciais dos campos em ordem a x e z são nulas, os campos não dependem de x ou de z no ponto P. Se a onda for plana, a velocidade em qualquer outro ponto será na mesma direcção e o argumento anterior também será válido.

  4. Num instante t > 0, a espira estará localizada na posição (unidades SI):
    3 t y   3 t + 0,2
    z0 z   z0 + 0,3
    O fluxo através da espira é igual a
    =
    3t+0,2

    3t 
       z0+0,3

    z0 
    (6 - y) dz  dy
    =
    0,3 6 y - y2
    2
    3t + 0,2

    3t 
    =
    0,36 + 0,15 [ 9 t2 - (3 t + 0,2)2 ]
    A fem induzida é:
    d
    dt
    = 2,7 t - 0,9 (3 t + 0,2) = - 0,18

    No instante t = 0, o fluxo magnético é no sentido do versor  i e diminui. Assim, o aumento do fluxo é no sentido oposto a  i e a lei de Lenz implica que o sentido da fem induzida seja anti-horário, visto desde o lado esquerdo. Em qualquer instante t > 0, a fem induzida é 0,18   V, no sentido anti-horário visto desde a esquerda.

  5. Como a carga volúmica não depende de nem de z, existe simetria cilíndrica e o campo será na direcção radial. Qualquer cilindro com eixo sobre o eixo dos z é uma superfície gaussiana. Aplicando a lei de Gauss obtemos o módulo do campo eléctrico:
    E = 4 k qi
    A
    onde qi é a carga dentro do cilindro gaussiano e A é a área onde existe fluxo, que neste caso é a superfície curva do cilindro de raio r e comprimento L
    A = 2 r L
    portanto, o módulo do campo eléctrico é
    E = 2 k qi
    r L

    Para calcular a carga interna é preciso considerar dois casos:

    1. Pontos onde r b (cilindro gaussiano com raio menor que b)
      qi = L

      0 
      2

      0 
      r

      0 
      a r (r dr d dz) = 2
      3
      a L r3
      e o módulo do campo é
      E = 4
      3
      k a r2

    2. Pontos onde r b (cilindro gaussiano com raio maior que b) .
      qi = L

      0 
      2

      0 
      b

      0 
      a r (r dr d dz) = 2
      3
      a L b3
      e o módulo do campo é
      E = 4 k a b3
      3 r

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Jaime Villate