Ano lectivo 2000-2001

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Exame do dia 19-1-2001

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Docente: Jaime Villate
Duração: 2 horas

  1. (4 valores) O circuito do lado esquerdo, com quatro terminais, vai ser substituído pelo circuito equivalente do lado direito. Calcule os valores que deverão ter R1, R2 e R3.


  2. (4 valores) Calcule o fluxo (para fora) do campo vectorial
    F = 4xy  i- y2  j+ yz  k
    através da superfície do cubo delimitado pelos planos x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0 e z = 1. Diga (justificando as suas respostas) se este campo poderia ser um campo electrostático ou um campo de indução magnética.

  3. (3 valores) O potencial eléctrico a uma certa distância de uma carga pontual é 600 V (arbitrando potencial nulo no infinito) e o campo eléctrico é 200 N/C. Calcule a distância e o valor da carga.

  4. (4 valores) Uma esfera de raio a, tem carga eléctrica distribuída de forma que a carga volúmica é = Ar, onde A é uma constante e r a distância ao centro da esfera. Calcule o potencial electrostático produzido pela esfera.

  5. (5 valores) Um condutor cilíndrico oco, com raio interno a e raio externo b transporta uma corrente I, paralela ao eixo do cilindro, distribuída uniformemente na secção transversal do condutor. Usando a lei de Ampère, calcule o campo de indução magnética em função da distância até o eixo do cilindro (R).


Resolução do exame do dia 19-1-2001

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  1. Este problema é bastante semelhante ao problema 6.8 do livro. Neste caso os pontos C e D no circuito são um único ponto. Assim, para que os dois circuitos sejam equivalentes, basta garantir que a resistência equivalente entre os pontos A e B, A e C, e B e C seja a mesma nos dois circuitos. No circuito do lado esquerdo temos:
    RAB = 1
    560
    + 1
    50 + 65
    -1

     
    = 95,4
    RAC = 1
    50
    + 1
    560 + 65
    -1

     
    = 46,2
    RBC = 1
    65
    + 1
    50 + 560
    -1

     
    = 58,7
    E no circuito do lado direito:
    RAB = R1 + R2
    RAC = R1 + R3
    RBC = R2 + R3
    igualando os resultados obtidos nos dois circuitos, obtemos um sistema linear de 3 equações




    1
    1
    0
    1
    0
    1
    0
    1
    1




    95,4
    46,2
    58,7




    e a solução deste sistema dá os valores das 3 resistências: R1 = 41,45 , R2 = 53,95 , R3 = 4,75 .

  2. O cubo está formado por seis planos e, portanto, para calcular o fluxo através do cubo será necessário calcular os fluxos nas seis faces, como foi feito na alínea c do problema 3.13. Mas no problema 4.9 vimos que o problema 3.13 resolve-se muito mais facilmente usando a equação de Poisson, que é uma consequência da lei de Gauss e o teorema da divergência. Assim, usaremos o teorema da divergência para calcular o fluxo (primeira equação do capítulo 4 no formulário):


    S 
    F· dA =

    R 
    ·F  dV
    a divergência do campo F é
    ·F = (4xy)
    x
    + y2
    y
    + (yz)
    z
    = 3y
    e o fluxo através do cubo é
    =

    R 
    ·F  dV = 1

    0 
    1

    0 
    1

    0 
    3y  dx  dy  dz = 1,5
    As condições que deverão verificar os campos E e B para serem campos electrostático e de indução magnética, são (ver formulário):
    ×E = 0        ·B = 0
    a divergência de F já vimos que não é nula e, portanto, F não pode ser um campo de indução magnética. A coordenada x do rotacional de F é
    yz
    y
    - y2
    z
    = z
    e por não ser nula, F não pode ser um campo electrostático.

  3. O módulo do campo eléctrico de uma carga pontual q na origem é
    E = kq
    r2
    e o potencial é
    V = kq
    r
    dividindo os dois valores obtemos
    V
    E
    = r
    substituindo os valores do problema, obtemos que a distância é r = 3 m. Para calcular a carga, substituímos na equação do potencial
    600 = 9·109 q
    3
    e assim a carga é de 200 nC.

  4. Este problema resolve-se usando o método do exemplo 3.5, onde o campo eléctrico é o calculado na alínea b do problema 2.13. Para calcular o campo eléctrico, observamos que qualquer esfera de raio r é uma superfície gaussiana, e consequentemente o fluxo eléctrico nessa esfera é
    = 4r2 E
    comparando com a lei de Gauss
    = 4k qint
    obtemos o valor do campo em função da carga interna
    E = k qint
    r2
    A carga interna é
    qint =  dV = 4A r

    0 
    r3  dr
    se r a a carga interna será A r4, e se r a a carga interna é A a4. Assim, o módulo do campo no interior da esfera será k A r2 e no exterior da esfera k A a4/r2; nos dois casos o campo tem direcção radial. A diferença de potencial calcula-se com a equação
    VA - VB = B

    A 
    E· dr = B

    A 
    E  dr
    se escolhermos o ponto B no infinito, onde o potencial é nulo, e o ponto A a uma distância r da origem, obtemos
    V(r) =

    r 
    E  dr
    se r a, integramos o campo no exterior da esfera
    V = k A a4

    r 
     dr
    r2
    = k A a4
    r
    enquanto que se r a, o integral terá que ser calculado em duas partes
    V = k A a

    r 
    r2  dr + k A a4

    a 
     dr
    r2
    = k A
    3
    (r3 + 2 a3)

  5. Este problema resolve-se em forma análoga ao exemplo 9.3. A figura mostra a secção transversal do condutor. O círculo tracejado, que pode ter qualquer valor do raio R, é uma linha de indução magnética

    A área da secção transversal do condutor é (b2 - a2), e como a corrente está distribuída uniformemente, a densidade de corrente será constante e igual a
    J = I
    (b2 - a2)
    o integral de linha do campo, sobre o círculo tracejado na figura, é



    C 
    B· dr = B  ds = 2R B
    Usando a lei de Ampère,



    C 
    B· dr = 4km IC
    concluímos que:
    B = 2km IC
    R
    Se o raio do círculo for menor que a, a corrente interna IC é nula e o campo será nulo
    B = 0        (R < a)
    se R > b, a corrente interna será igual à corrente total I, e o campo será
    B = 2km I
    R
    e
    onde o versor transversal e define-se num sistema de coordenadas onde o versor  k aponta na direcção e sentido da corrente. Finalmente, dentro do condutor (a R b) a corrente interna calcula-se multiplicando a área da parte da secção do condutor dentro do círculo, (R2 - a2), vezes a densidade de corrente. O resultado obtido é:
    B = 2km I
    R
    R2 - a2
    b2 - a2
    e


Exame do dia 2-2-2001

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Docente: Jaime Villate
Duração: 2 horas.

  1. (4 valores) Na figura está representado esquematicamente um corte transversal de dois cabos longos e paralelos, perpendiculares ao plano xy, cada um com uma corrente I, em sentidos opostos. (a) Represente os vectores de indução magnética de cada cabo e o campo resultante no ponto P. (b) Deduza a expressão para o módulo do campo de indução magnética em qualquer ponto sobre o eixo x, em termos da coordenada x do ponto.

  2. (4 valores) Três condensadores de 1,5 pF, 2,2 pF e 3,0 pF estão ligados (i) em série, (ii) em paralelo e aplica-se-lhes uma diferença de potencial de 6 V. Calcule, para cada caso, (a) a capacidade do sistema, (b) a carga sobre cada condensador e (c) a diferença de potencial em cada condensador.

  3. (4 valores) Cada uma das resistências da figura tem uma resistência de 2,8 k e pode dissipar um máximo de 0,5 W, sem se danificar. Calcule a potência máxima que pode dissipar o circuito, e a corrente em cada resistência.

  4. (2 valores) Um sistema de três cargas pontuais está em equilíbrio (a força electrostática sobre cada carga é zero). Sabendo que duas das cargas são 3q e 2q, separadas por uma distância d, calcule o valor e a posição da terceira carga.

  5. (6 valores) Um corpo esférico de raio R tem uma carga Q distribuída uniformemente em todo o seu volume. (a) Usando a lei de Gauss, calcule o campo eléctrico dentro e fora do corpo. (b) Integrando o campo eléctrico, calcule o potencial no interior do corpo. (c) Calcule a energia volúmica electrostática em qualquer ponto dentro do corpo. (d) integrando a energia volúmica, calcule a energia electrostática total do corpo.


Resolução do exame do dia 2-2-2001

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  1. As linhas de indução magnética de cada cabo são ciculares, com centro no cabo e no sentido da mão direita segundo a corrente; assim, os campos de indução produzidos pelos dois cabos são como se representam na figura:

    Como a corrente nos dois cabos tem a mesma intensidade, e os dois cabos estão à mesma distância de P, os módulos dos dois campos é o mesmo; as componentes segundo y anulam-se e as componentes segundo x somam-se para produzir um campo resultante na direcção do versor  i
    B = 2km I
    (x2 + a2)1/2
    cos i + 2km I
    (x2 + a2)1/2
    cos i

    B = 4km I a
    x2 + a2

    1. Em série a capacidade equivalente será (em pF)
      Cs = 1
      1,5
      + 1
      2,2
      + 1
      3
      -1

       
      = 0,6875
      e em paralelo,
      Cp = 1,5 + 2,2 + 3 = 6,7

    2. Nos condensadores em série a carga é a mesma em todos eles e igual à carga que armazenaria o condensador equivalente
      Q1 = Q2 = Q3 = CeqV = (0,6875 pF) (6 V) = 4,125 pC
      quando ligados em paralelo, a diferença de potencial em cada um dos condensadores será 6 V, e as cargas obtidas são:
      Q1
      =
      (1,5 pF)(6 V) = 9 pC
      Q2
      =
      (2,2 pF)(6 V) = 13,2 pC
      Q3
      =
      (3 pF)(6 V) = 18 pC

    3. Em paralelo, já dissemos na alínea anterior que a diferença de potencial é de 6 V em cada condensador. Quando ligados em série, a partir da carga obtida na alínea anterior calculamos as diferenças de potencial
      V1
      =
      4,125 pC
      1,5 pF
      = 2,75 V
      V2
      =
      4,125 pC
      2,2 pF
      = 1,875 V
      V3
      =
      4,125 pC
      3 pF
      = 1,375 V
      pode-se conferir que a soma das três da 6 V.

  2. A potência máxima que cada resistência pode dissipar implica uma corrente máxima:
    I = P
    R
    1/2

     
    = 13,36 mA
    A corrente em nenhuma das resistências poderá ultrapassar esse valor. No entanto, a corrente em cada uma das resistências idênticas ligadas em paralelo será sempre metade da corrente na terceira resistência. Consequentemente, a situação de máxima potência dissipada atinge-se quando a corrente nas resistências em paralelo for 6,68 mA, enquanto que a corrente na terceira resistência terá o seu valor máximo. Uma diminuição da corrente a metade do seu valor máximo implica a diminuição da potência a 1/4 do seu valor máximo; a potência total dissipada é
    Pt = (0,125 + 0,125 + 0,5) W = 0,75 W

  3. A única possibilidade para que a resultante de dois vectores seja nula, é que os vectores estejam sobre a mesma linha de acção e com sentidos opostos. Como o sinal das duas cargas é o mesmo, a terceira carga terá que estar necessariamente entre as outras duas e sobre o segmento que as une. Se d1 e d2 forem as distâncias de cada uma das cargas até a terceira, a igualdade dos módulos das forças implica
    3kqQ
    d12
    = 2kqQ
    d22
            d1
    d2
    = 3
    2
    1/2

     
    como as 3 cargas estão sobre a mesma recta, d1 + d2 = d e substituindo obtemos
    d1 = (3 - 61/2 ) d        d2 = (61/2 - 2) d
    para calcular a terceira carga (Q) primeiro observamos que deverá ter sinal oposto a q para que as forças sobre 2q se anulem; igualando os módulos das forças sobre 2q, temos:
    2kq|Q|
    d22
    = 6kq2
    d2
            Q = - 6q (5 - 2·61/2)

    1. Devido à simetria esférica do problema, o campo eléctrico deverá ser radial, e a lei de Gauss conduz a um módulo do campo igual a:
      E = kQi
      r2
      onde Qi é a carga total dentro de uma esfera gaussiana de raio r. Se r R, Qi = Q; no caso r R, a distribuição uniforme implica uma carga volúmica
      = 3Q
      4R3
      e uma carga interna
      Qi = 4
      3
      r3 = Q r
      R
      3

       
      assim, o módulo do campo eléctrico será
      E =
      k Q
      R3
      r
      r R
      k Q
      r2
      r R

    2. Se r R, o potencial eléctrico será
      V =

      r 
      E  dr = R

      r 
      k Q
      R3
      r  dr +

      R 
      k Q
      r2
       dr = k Q
      2R


      3 - r
      R
      2

       


    3. A energia volúmica electrostática num ponto é igual a metade do produto entre a carga volúmica e o potencial nesse ponto. Usando os valores de (fora da esfera é nula) e de V já calculados dentro da esfera,
      u = 3kQ2
      16R 4


      3 - r
      R
      2

       


    4. A energia electrostática total obtem-se integrando u dentro da esfera. Como existe simetria esférica, o integral de volume na esfera será
      U = 4 R

      0 
      u r2  dr = 3kQ2
      5R

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Jaime Villate