EXAMES DE ELECTROMAGNETISMO

[Índice]
1 Ano lectivo 2000-2001
2 Ano lectivo 1998-99
3 Ano lectivo 1997-98


Ano lectivo 2000-2001

[Índice] [Próximo]

Exame do dia 19-1-2001

Docente: Jaime Villate
Duração: 2 horas

  1. (4 valores) O circuito do lado esquerdo, com quatro terminais, vai ser substituído pelo circuito equivalente do lado direito. Calcule os valores que deverão ter R1, R2 e R3.


  2. (4 valores) Calcule o fluxo (para fora) do campo vectorial
    F = 4xy  i- y2  j+ yz  k
    através da superfície do cubo delimitado pelos planos x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0 e z = 1. Diga (justificando as suas respostas) se este campo poderia ser um campo electrostático ou um campo de indução magnética.

  3. (3 valores) O potencial eléctrico a uma certa distância de uma carga pontual é 600 V (arbitrando potencial nulo no infinito) e o campo eléctrico é 200 N/C. Calcule a distância e o valor da carga.

  4. (4 valores) Uma esfera de raio a, tem carga eléctrica distribuída de forma que a carga volúmica é = Ar, onde A é uma constante e r a distância ao centro da esfera. Calcule o potencial electrostático produzido pela esfera.

  5. (5 valores) Um condutor cilíndrico oco, com raio interno a e raio externo b transporta uma corrente I, paralela ao eixo do cilindro, distribuída uniformemente na secção transversal do condutor. Usando a lei de Ampère, calcule o campo de indução magnética em função da distância até o eixo do cilindro (R).

Resolução do exame do dia 19-1-2001

  1. Este problema é bastante semelhante ao problema 6.8 do livro. Neste caso os pontos C e D no circuito são um único ponto. Assim, para que os dois circuitos sejam equivalentes, basta garantir que a resistência equivalente entre os pontos A e B, A e C, e B e C seja a mesma nos dois circuitos. No circuito do lado esquerdo temos:
    RAB = 1
    560
    + 1
    50 + 65
    -1

     
    = 95,4
    RAC = 1
    50
    + 1
    560 + 65
    -1

     
    = 46,2
    RBC = 1
    65
    + 1
    50 + 560
    -1

     
    = 58,7
    E no circuito do lado direito:
    RAB = R1 + R2
    RAC = R1 + R3
    RBC = R2 + R3
    igualando os resultados obtidos nos dois circuitos, obtemos um sistema linear de 3 equações




    1
    1
    0
    1
    0
    1
    0
    1
    1




    95,4
    46,2
    58,7




    e a solução deste sistema dá os valores das 3 resistências: R1 = 41,45 , R2 = 53,95 , R3 = 4,75 .

  2. O cubo está formado por seis planos e, portanto, para calcular o fluxo através do cubo será necessário calcular os fluxos nas seis faces, como foi feito na alínea c do problema 3.13. Mas no problema 4.9 vimos que o problema 3.13 resolve-se muito mais facilmente usando a equação de Poisson, que é uma consequência da lei de Gauss e o teorema da divergência. Assim, usaremos o teorema da divergência para calcular o fluxo (primeira equação do capítulo 4 no formulário):


    S 
    F· dA =

    R 
    ·F  dV
    a divergência do campo F é
    ·F = (4xy)
    x
    + y2
    y
    + (yz)
    z
    = 3y
    e o fluxo através do cubo é
    =

    R 
    ·F  dV = 1

    0 
    1

    0 
    1

    0 
    3y  dx  dy  dz = 1,5
    As condições que deverão verificar os campos E e B para serem campos electrostático e de indução magnética, são (ver formulário):
    ×E = 0        ·B = 0
    a divergência de F já vimos que não é nula e, portanto, F não pode ser um campo de indução magnética. A coordenada x do rotacional de F é
    yz
    y
    - y2
    z
    = z
    e por não ser nula, F não pode ser um campo electrostático.

  3. O módulo do campo eléctrico de uma carga pontual q na origem é
    E = kq
    r2
    e o potencial é
    V = kq
    r
    dividindo os dois valores obtemos
    V
    E
    = r
    substituindo os valores do problema, obtemos que a distância é r = 3 m. Para calcular a carga, substituímos na equação do potencial
    600 = 9·109 q
    3
    e assim a carga é de 200 nC.

  4. Este problema resolve-se usando o método do exemplo 3.5, onde o campo eléctrico é o calculado na alínea b do problema 2.13. Para calcular o campo eléctrico, observamos que qualquer esfera de raio r é uma superfície gaussiana, e consequentemente o fluxo eléctrico nessa esfera é
    = 4r2 E
    comparando com a lei de Gauss
    = 4k qint
    obtemos o valor do campo em função da carga interna
    E = k qint
    r2
    A carga interna é
    qint =  dV = 4A r

    0 
    r3  dr
    se r a a carga interna será A r4, e se r a a carga interna é A a4. Assim, o módulo do campo no interior da esfera será k A r2 e no exterior da esfera k A a4/r2; nos dois casos o campo tem direcção radial. A diferença de potencial calcula-se com a equação
    VA - VB = B

    A 
    E· dr = B

    A 
    E  dr
    se escolhermos o ponto B no infinito, onde o potencial é nulo, e o ponto A a uma distância r da origem, obtemos
    V(r) =

    r 
    E  dr
    se r a, integramos o campo no exterior da esfera
    V = k A a4

    r 
     dr
    r2
    = k A a4
    r
    enquanto que se r a, o integral terá que ser calculado em duas partes
    V = k A a

    r 
    r2  dr + k A a4

    a 
     dr
    r2
    = k A
    3
    (r3 + 2 a3)

  5. Este problema resolve-se em forma análoga ao exemplo 9.3. A figura mostra a secção transversal do condutor. O círculo tracejado, que pode ter qualquer valor do raio R, é uma linha de indução magnética

    A área da secção transversal do condutor é (b2 - a2), e como a corrente está distribuída uniformemente, a densidade de corrente será constante e igual a
    J = I
    (b2 - a2)
    o integral de linha do campo, sobre o círculo tracejado na figura, é



    C 
    B· dr = B  ds = 2R B
    Usando a lei de Ampère,



    C 
    B· dr = 4km IC
    concluímos que:
    B = 2km IC
    R
    Se o raio do círculo for menor que a, a corrente interna IC é nula e o campo será nulo
    B = 0        (R < a)
    se R > b, a corrente interna será igual à corrente total I, e o campo será
    B = 2km I
    R
    e
    onde o versor transversal e define-se num sistema de coordenadas onde o versor  k aponta na direcção e sentido da corrente. Finalmente, dentro do condutor (a R b) a corrente interna calcula-se multiplicando a área da parte da secção do condutor dentro do círculo, (R2 - a2), vezes a densidade de corrente. O resultado obtido é:
    B = 2km I
    R
    R2 - a2
    b2 - a2
    e

Exame do dia 2-2-2001

Docente: Jaime Villate
Duração: 2 horas.

  1. (4 valores) Na figura está representado esquematicamente um corte transversal de dois cabos longos e paralelos, perpendiculares ao plano xy, cada um com uma corrente I, em sentidos opostos. (a) Represente os vectores de indução magnética de cada cabo e o campo resultante no ponto P. (b) Deduza a expressão para o módulo do campo de indução magnética em qualquer ponto sobre o eixo x, em termos da coordenada x do ponto.

  2. (4 valores) Três condensadores de 1,5 pF, 2,2 pF e 3,0 pF estão ligados (i) em série, (ii) em paralelo e aplica-se-lhes uma diferença de potencial de 6 V. Calcule, para cada caso, (a) a capacidade do sistema, (b) a carga sobre cada condensador e (c) a diferença de potencial em cada condensador.

  3. (4 valores) Cada uma das resistências da figura tem uma resistência de 2,8 k e pode dissipar um máximo de 0,5 W, sem se danificar. Calcule a potência máxima que pode dissipar o circuito, e a corrente em cada resistência.

  4. (2 valores) Um sistema de três cargas pontuais está em equilíbrio (a força electrostática sobre cada carga é zero). Sabendo que duas das cargas são 3q e 2q, separadas por uma distância d, calcule o valor e a posição da terceira carga.

  5. (6 valores) Um corpo esférico de raio R tem uma carga Q distribuída uniformemente em todo o seu volume. (a) Usando a lei de Gauss, calcule o campo eléctrico dentro e fora do corpo. (b) Integrando o campo eléctrico, calcule o potencial no interior do corpo. (c) Calcule a energia volúmica electrostática em qualquer ponto dentro do corpo. (d) integrando a energia volúmica, calcule a energia electrostática total do corpo.

Resolução do exame do dia 2-2-2001

  1. As linhas de indução magnética de cada cabo são ciculares, com centro no cabo e no sentido da mão direita segundo a corrente; assim, os campos de indução produzidos pelos dois cabos são como se representam na figura:

    Como a corrente nos dois cabos tem a mesma intensidade, e os dois cabos estão à mesma distância de P, os módulos dos dois campos é o mesmo; as componentes segundo y anulam-se e as componentes segundo x somam-se para produzir um campo resultante na direcção do versor  i
    B = 2km I
    (x2 + a2)1/2
    cos i + 2km I
    (x2 + a2)1/2
    cos i

    B = 4km I a
    x2 + a2

    1. Em série a capacidade equivalente será (em pF)
      Cs = 1
      1,5
      + 1
      2,2
      + 1
      3
      -1

       
      = 0,6875
      e em paralelo,
      Cp = 1,5 + 2,2 + 3 = 6,7

    2. Nos condensadores em série a carga é a mesma em todos eles e igual à carga que armazenaria o condensador equivalente
      Q1 = Q2 = Q3 = CeqV = (0,6875 pF) (6 V) = 4,125 pC
      quando ligados em paralelo, a diferença de potencial em cada um dos condensadores será 6 V, e as cargas obtidas são:
      Q1
      =
      (1,5 pF)(6 V) = 9 pC
      Q2
      =
      (2,2 pF)(6 V) = 13,2 pC
      Q3
      =
      (3 pF)(6 V) = 18 pC

    3. Em paralelo, já dissemos na alínea anterior que a diferença de potencial é de 6 V em cada condensador. Quando ligados em série, a partir da carga obtida na alínea anterior calculamos as diferenças de potencial
      V1
      =
      4,125 pC
      1,5 pF
      = 2,75 V
      V2
      =
      4,125 pC
      2,2 pF
      = 1,875 V
      V3
      =
      4,125 pC
      3 pF
      = 1,375 V
      pode-se conferir que a soma das três da 6 V.

  2. A potência máxima que cada resistência pode dissipar implica uma corrente máxima:
    I = P
    R
    1/2

     
    = 13,36 mA
    A corrente em nenhuma das resistências poderá ultrapassar esse valor. No entanto, a corrente em cada uma das resistências idênticas ligadas em paralelo será sempre metade da corrente na terceira resistência. Consequentemente, a situação de máxima potência dissipada atinge-se quando a corrente nas resistências em paralelo for 6,68 mA, enquanto que a corrente na terceira resistência terá o seu valor máximo. Uma diminuição da corrente a metade do seu valor máximo implica a diminuição da potência a 1/4 do seu valor máximo; a potência total dissipada é
    Pt = (0,125 + 0,125 + 0,5) W = 0,75 W

  3. A única possibilidade para que a resultante de dois vectores seja nula, é que os vectores estejam sobre a mesma linha de acção e com sentidos opostos. Como o sinal das duas cargas é o mesmo, a terceira carga terá que estar necessariamente entre as outras duas e sobre o segmento que as une. Se d1 e d2 forem as distâncias de cada uma das cargas até a terceira, a igualdade dos módulos das forças implica
    3kqQ
    d12
    = 2kqQ
    d22
            d1
    d2
    = 3
    2
    1/2

     
    como as 3 cargas estão sobre a mesma recta, d1 + d2 = d e substituindo obtemos
    d1 = (3 - 61/2 ) d        d2 = (61/2 - 2) d
    para calcular a terceira carga (Q) primeiro observamos que deverá ter sinal oposto a q para que as forças sobre 2q se anulem; igualando os módulos das forças sobre 2q, temos:
    2kq|Q|
    d22
    = 6kq2
    d2
            Q = - 6q (5 - 2·61/2)

    1. Devido à simetria esférica do problema, o campo eléctrico deverá ser radial, e a lei de Gauss conduz a um módulo do campo igual a:
      E = kQi
      r2
      onde Qi é a carga total dentro de uma esfera gaussiana de raio r. Se r R, Qi = Q; no caso r R, a distribuição uniforme implica uma carga volúmica
      = 3Q
      4R3
      e uma carga interna
      Qi = 4
      3
      r3 = Q r
      R
      3

       
      assim, o módulo do campo eléctrico será
      E =
      k Q
      R3
      r
      r R
      k Q
      r2
      r R

    2. Se r R, o potencial eléctrico será
      V =

      r 
      E  dr = R

      r 
      k Q
      R3
      r  dr +

      R 
      k Q
      r2
       dr = k Q
      2R


      3 - r
      R
      2

       


    3. A energia volúmica electrostática num ponto é igual a metade do produto entre a carga volúmica e o potencial nesse ponto. Usando os valores de (fora da esfera é nula) e de V já calculados dentro da esfera,
      u = 3kQ2
      16R 4


      3 - r
      R
      2

       


    4. A energia electrostática total obtem-se integrando u dentro da esfera. Como existe simetria esférica, o integral de volume na esfera será
      U = 4 R

      0 
      u r2  dr = 3kQ2
      5R


Ano lectivo 1998-99

[Índice] [Próximo] [Anterior]

Exame do dia 29-1-99

Docentes: Jaime Villate e Inês Freitas
Duração: 2 horas

Com consulta de formulário. Pode responder a lápis e em qualquer ordem.

  1. (3 valores) Represente as linhas de campo dos campos F = r e G =  k×r, onde r é o vector posição. Demonstre que em qualquer ponto a divergência de F é igual a 3 e o rotacional de G é igual a 2 k.

  2. (4 valores) Dois condensadores de 10 F e 20 F são ligados em série a uma fonte de 1200 V. Calcule a carga em cada condensador. A fonte é logo desligada, ligando entre si os terminais dos condensadores que estavam em contacto com a fonte. Calcule a diferença de potencial e carga final em cada condensador.

  3. (5 valores) No interior do círculo a tracejado na figura, existe um campo de indução magnética apontando para dentro do papel e com módulo igual a 0,6 e-t/15 (unidades SI, t = tempo). Calcule o módulo e direcção do campo eléctrico induzido dentro do anel condutor de raio r = 9 cm.

  4. (4 valores) Quando três resistências idênticas são ligadas em paralelo a uma fonte de tensão, a potência total dissipada é 7,8 W. Qual será a potência dissipada quando as três resistências forem ligadas em série à mesma fonte?

  5. (4 valores) Um fio cilíndrico de cobre, de raio a, conduz uma corrente I. A corrente está distribuída de forma não-uniforme, com J = A r3, onde r é a distância até o eixo do fio e A uma constante. Calcule o campo de indução magnética B no interior e no exterior do fio, usando a lei de Ampère.

Resolução do exame do dia 29-1-99

  1. As linhas de campo de F apontam na direcção radial e, portanto, o desenho das linhas de campo é:

    Em qualquer ponto, o campo G é perpendicular ao versor  k e ao versor radial; assim, G tem a mesma direcção e sentido que o versor e e as linhas de campo são circunferências paralelas ao plano xy, com centro no eixo dos z:

    A divergência de F é:
    ·(x i+ y j+ z k) = x
    x
    + y
    y
    + z
    z
    = 3
    Em função das coordenadas cartesianas, o campo G é
    G =  k×(x i+ y j+ z k) = x j- y i
    e o seu rotacional é igual a







     i
     j
     k
      
    x
      
    y
      
    z
    -y
    x
    0







    = - x
    z
     i- y
    z
     j + x
    x
     k+ y
    y
     k = 2 k

  2. A carga é igual nos dois condensadores, por estarem em série, e é igual à carga no condensador equivalente
    Q = Ceq V

    Ceq = 10·20
    10 + 20
      F = 20
    3
      F       Q = 8  mC
    Após a fonte ter sido desligada e os condensadores ligados entre si, a diferença de potencial nos dois condensadores será igual e, portanto, a carga em cada um será directamente proporcional às suas capacidades:
    Q2 = 2 Q1
    onde Q1 e Q2 são as cargas nos condensadores de 10 F e 20 F, respectivamente. Por conservação da carga, sabemos também que
    Q1 + Q2 = 3 Q1 = 8  mC
    assim, as cargas finais são Q1 = 8/3  mC e Q2 = 16/3  mC.

  3. Como o campo de indução magnética é uniforme e perpendicular ao plano do anel condutor, o fluxo através deste será:
    = B  dA = B A = 0,6 r2  e-t/15
    e a fem induzida é igual a
    E = - d
    dt
    = r2
    25
     e-t/15
    esta fem induzida é igual ao integral de linha do campo eléctrico induzido, ao longo do anel. Como o campo induzido tem módulo constante e segue a direcção tangente ao anel, o seu integral de linha ao longo do anel será
    E = 2 r Ei
    comparando as duas equações anteriores, obtemos o módulo do campo eléctrico induzido
    Ei = r
    50
     e-t/15 = 0,0018  e-t/15
    A a sua direcção, como já foi dito, é tangente ao anel. Para encontrar o sentido do campo eléctrico induzido, observamos que como o módulo de B diminui, a derivada do campo B aponta para fora da folha de papel. Segundo a lei de Lenz, o campo magnético induzido apontará para dentro da folha de papel, o que implica uma corrente e um campo eléctrico induzido no sentido horário.

  4. A resistência equivalente a três resistências iguais, ligadas em paralelo, é igual a um terço de cada uma das resistências. E a resistência equivalente quando as três resistências são ligadas em série é três vezes maior que a resistência de cada uma delas. Assim, a resistência equivalente é 9 vezes maior no caso das resistências estarem ligadas em série. Como a potência dissipada numa resistência é igual a
    P = V2
    R
    e a diferença de potencial é constante (a fonte de tensão é a mesma), a potência dissipada é inversamente proporcional à resistência e, portanto, a potência dissipada nas resistências ligadas em série será 9 vezes menor que o valor inicial de 7,8 W
    P = 7,8
    9
     W = 0,8667 W

  5. Se escolhermos o eixo dos z sobre o eixo do cilindro (no sentido da corrente), e como a densidade de corrente depende unicamente da distância ao eixo, existe simetria cilíndrica e as linhas de indução magnética serão circunferências paralelas ao cilindro e com centro no eixo dos z (ver desenho das linhas do campo G no problema 1). O integral de linha do campo B, ao longo de uma linha de indução de raio r é



    C 
    B· dr = B  ds = 2r B

    Usando a lei de Ampère, obtemos



    C 
    B· dr = 4km IC  .
    Comparando as duas equações concluímos que:
    B = 2km IC
    r
      .

    Se r for menor que o raio do cilindro, a corrente através de C será:
    IC = J  dA = A 2

    0 
    r

    0 
    r4  dr  d = 2
    5
    A r5
    Se r for maior que o raio do cilindro, o integral de J é no intervalo 0 r a e a corrente é igual a
    IC = 2
    5
    A a5

    Assim, o campo será
    B =
    4 km A a5
    5 r
    r a
    4 km A r4
    5
    r < a

Exame do dia 8-1-99

Docentes: Jaime Villate e Inês Freitas
Duração: 2 horas

Pode responder a lápis e em qualquer ordem. Com consulta do formulário.

  1. (4 valores) O fio da figura transporta uma corrente I = 5  A e encontra-se dentro de um campo de indução magnética B = 125  G, uniforme e para dentro da folha de papel. Calcule a força magnética total sobre o arco PQ de raio r = 3  cm.

  2. (4 valores) Uma esfera metálica isolada, de 1  m de raio tem uma carga inicial de 5×10-9  C. A esfera é ligada a outra esfera condutora isolada, de 30  cm de raio, inicialmente descarregada, por meio de um fio condutor. Calcule a carga em cada esfera, no estado de equilíbrio, desprezando a carga armazenada no fio e admitindo que as esferas estão bastante afastadas entre si.

  3. (3 valores) Explique porque os campos E e B de uma onda electromagnética plana, que se propaga no vazio na direcção do eixo dos y, não podem depender de x ou de z.

  4. (5 valores) Uma espira condutora rectangular, paralela ao plano yz, desloca-se com velocidade uniforme v = 3 j  (m/s) dentro de uma região onde existe um campo de indução magnética (unidades SI):
    Bx = (6 - y)        By = Bz = 0
    Calcule a fem induzida na espira, em função do tempo t, a partir do instante t = 0 em que a espira se encontra na posição da figura.

  5. (4 valores) Calcule o campo eléctrico devido à distribuição de carga volúmica (unidades SI):
    (r,,z) =
    a r  ,
    r b,  - < z <
    0  ,
    r > b,  - < z <
    onde (r, , z) são as coordenadas cilíndricas, e a e b são constantes.

Resolução do exame do dia 8-1-99

  1. A força total é dada pelo integral
    F = Q

    P 
    I×B  ds
    Num ponto qualquer do arco, a corrente é tangente ao arco e podemos definir os eixos da seguinte forma:

    assim, a corrente é no sentido oposto do versor e
    I
    =
    -I e
    B
    = 6 -B  k
    I×B
    =
    IBer
    ds
    =
    -r d
    F
    =
    -r I B 0

     
    er d
    O versor radial depende do ângulo :
    er = cos  i+ sin  j

      F = r I B -sin  i+ cos   j 0

     
    = 2 r I B  j = 0,0375  j  (T)

  2. A carga inicial Q0 redistribui-se entre as duas esferas, ficando estas com cargas finais Q1 e Q2. Por conservação da carga, sabemos que
    Q0 = Q1 + Q2
    ligando as duas esferas com o fio condutor, o potencial nelas será idêntico (V1 = V2). Como o potencial na superfície de uma esfera é igual a kQ/r, obtemos a seguinte equação:
    k Q1
    r1
    = k Q2
    r2
           Q1 = r1
    r2
    Q2
    substituindo na equação anterior, obtemos
    Q2 = r2
    r1 + r2
    Q0 = 1,15·10-9   C
    e a carga na outra esfera é
    Q1 = r1
    r1 + r2
    Q0 = 3,846·10-9   C

  3. Os campos de qualquer onda electromagnética no vazio são necessariamente perpendiculares entre si e perpendiculares à velocidade de propagação. Assim, num ponto P podemos definir os eixos x e y nas direcções de B e de E, respectivamente
    B = B  i       E = E  k
    além disso, sabemos também que E = cB. Usando a primeira e terceira equações de Maxwell:
    ·E = 0        ·B = 0
    obtemos
    E
    z
    = 0        B
    x
    = 0
    e substituindo a relação E = cB, obtemos
    B
    z
    = 0        E
    x
    = 0
    Como as derivadas parciais dos campos em ordem a x e z são nulas, os campos não dependem de x ou de z no ponto P. Se a onda for plana, a velocidade em qualquer outro ponto será na mesma direcção e o argumento anterior também será válido.

  4. Num instante t > 0, a espira estará localizada na posição (unidades SI):
    3 t y   3 t + 0,2
    z0 z   z0 + 0,3
    O fluxo através da espira é igual a
    =
    3t+0,2

    3t 
       z0+0,3

    z0 
    (6 - y) dz  dy
    =
    0,3 6 y - y2
    2
    3t + 0,2

    3t 
    =
    0,36 + 0,15 [ 9 t2 - (3 t + 0,2)2 ]
    A fem induzida é:
    d
    dt
    = 2,7 t - 0,9 (3 t + 0,2) = - 0,18

    No instante t = 0, o fluxo magnético é no sentido do versor  i e diminui. Assim, o aumento do fluxo é no sentido oposto a  i e a lei de Lenz implica que o sentido da fem induzida seja anti-horário, visto desde o lado esquerdo. Em qualquer instante t > 0, a fem induzida é 0,18   V, no sentido anti-horário visto desde a esquerda.

  5. Como a carga volúmica não depende de nem de z, existe simetria cilíndrica e o campo será na direcção radial. Qualquer cilindro com eixo sobre o eixo dos z é uma superfície gaussiana. Aplicando a lei de Gauss obtemos o módulo do campo eléctrico:
    E = 4 k qi
    A
    onde qi é a carga dentro do cilindro gaussiano e A é a área onde existe fluxo, que neste caso é a superfície curva do cilindro de raio r e comprimento L
    A = 2 r L
    portanto, o módulo do campo eléctrico é
    E = 2 k qi
    r L

    Para calcular a carga interna é preciso considerar dois casos:

    1. Pontos onde r b (cilindro gaussiano com raio menor que b)
      qi = L

      0 
      2

      0 
      r

      0 
      a r (r dr d dz) = 2
      3
      a L r3
      e o módulo do campo é
      E = 4
      3
      k a r2

    2. Pontos onde r b (cilindro gaussiano com raio maior que b) .
      qi = L

      0 
      2

      0 
      b

      0 
      a r (r dr d dz) = 2
      3
      a L b3
      e o módulo do campo é
      E = 4 k a b3
      3 r


Ano lectivo 1997-98

[Índice] [Anterior]

Exame do dia 16-1-98

Docentes: Jaime Villate e Ana Paula Barbosa
Duração: 2 horas.

Pode responder em qualquer ordem e a lápis. Com consulta do formulário.

  1. (3 valores) Considere uma onda electromagnética plana, polarizada linearmente na direcção do eixo dos x, que se propaga na direcção positiva do eixo dos y. A sua frequência é de 12 MHz e a sua amplitude é Eo = 0,008 V/m; (a) calcule o período e o comprimento de onda (b) escreva uma expressão para E(t) e para B(t).

  2. (3 valores) A diferença de potencial entre os terminais de uma bateria é 4,5 V quando a bateria é percorrida por uma corrente de 3 A, na direcção do terminal negativo para o positivo. Quando a corrente é de 2 A, na direcção oposta, a diferença de potencial aumenta até 12 V. (a) Calcule a resistência interna da bateria; (b) qual é a f.e.m. da bateria?

  3. (4 valores) Calcula-se em geral a capacidade de um condensador plano desprezando os efeitos das bordas, isto é, supondo o campo interno uniforme e o campo externo nulo. Quando se consideram os efeitos de bordas, o valor exacto da capacidade é superior ou inferior a este valor aproximado? (justifique claramente a sua resposta).

  4. (4 valores) Uma barra metálica de comprimento l = 9 cm desloca-se com velocidade uniforme v = 18 cm/s, dentro de um campo magnético uniforme B = 3,5 G, perpendicular à barra (ver figura). Calcule a diferença de potencial Va - Vb.

  5. (6 valores) Calcule o campo eléctrico produzido pela distribuição de carga (em unidades SI)
    (r) =
    0,05
    r2
    e-3r
    0 r 0,1
    0
    0,1 < r

Resolução do exame do dia 16-1-98


    1. O período é o inverso da frequência:
      P = 1
      12·106Hz
      = 8,33·10-8   s
      E o comprimento de onda obtem-se a partir da frequência e da velocidade da luz
      = c
      f
      = 3·108
      12·106
        m = 25  m

    2. A onda é harmónica, já que a sua frequência está bem definida. Para uma onda harmónica, propagando-se na direcção positiva do eixo dos y, o campo eléctrico tem a forma:
      E = Eo cos(ky - t + )

      k = 2

      = 0,2513  m-1

      = 2f = 75,40  MHz
      onde é uma constante de fase. A direcção do campo é a direcção de polarização:
      E = 0,008 cos(0,2513  y - 75,40·106 t + )  i
      (unidades SI). O campo magnético tem a direcção do produto vectorial entre a direcção de propagação ( j) e a direcção do campo eléctrico ( i nos pontos onde a função co-seno for positiva), ou seja a direcção - k. O seu módulo é igual ao módulo do campo eléctrico dividido por c:
      B = - 0,008
      3·108
      cos(0,2513  y - 75,40·106t + )  k

      B = -2,67·10-11 cos(0,2513  y - 75,40·106t + )  k

    1. No primeiro caso temos o seguinte diagrama de circuito

      onde r é a resistência interna e E a f.e.m. A diferença de potencial entre os terminais da bateria é
      V = E - 3r = 4,5  V

    2. No segundo caso:

      a diferença de potencial entre os terminais da bateria é agora
      V = E + 2r = 12 V
      (no circuito repare que o sinal da diferença de potencial na f.e.m. e na resistência interna é o mesmo). Resolvendo as duas equações anteriores, encontramos os valores da f.e.m. e da resistência interna:
      5 r = 12 - 4,5               r = 1,5

      E = 3r + 4,5 = 9 V

  1. Quando ignoramos os efeitos das bordas, admitimos que o campo eléctrico no condensador é constante, a densidade superficial de carga (o) constante, e usando a lei de Gauss obtemos que E = o/o . A diferença de potencial entre as armaduras é igual à área sob a curva do campo eléctrico:

    em que x é a distância ao longo de uma linha de campo. A situação real, considerando efeitos das bordas, apresenta duas diferenças; por um lado, a medida que x aumenta, o campo diminui até x = d/2 e volta a aumentar, já que as linhas de campo afastam-se e voltam a juntarem-se. Por outro lado, a densidade superficial de carga já não é constante; acumulam-se mais cargas nas bordas e menos no centro. Existe ainda uma linha de campo perpendicular às armaduras (no centro) e ao longo dela o campo será na forma seguinte:

    Consequentemente, a diferença de potencial diminui. A capacidade é dada por
    C = Q
    V
    a carga obviamente é constante (estamos ao olhar ao mesmo sistema numa forma mais realista) e portanto a capacidade é maior quando consideramos os efeitos das bordas.

  2. Os electrões de condução vão sentir uma força magnética para baixo (regra da mão direita) de módulo
    Fm = evB
    Quando a barra atingir o equilíbrio electrostático, existirá um campo eléctrico para baixo, o qual produz uma força eléctrica para cima, sobre os electrões de condução, igual e oposta à força magnética
    Fe = eE = evB               E = vB
    Como a força magnética sobre cada electrão é a mesma em qualquer ponto na barra, o campo eléctrico deverá ser constante e a diferença de potencial será
    Va - Vb = E dab = v B dab = (0,18) (0,09) (3,5·10-4)   V

    Va - Vb = 5.67·10-6  V

  3. A distribuição de carga tem simetria esférica já que só depende da distância à origem (r). Assim, podemos aplicar a lei de Gauss para calcular o campo eléctrico, já que qualquer esfera com centro na origem será uma superfície Gaussiana. O fluxo a través das esferas Gaussianas é
    = 4 r2 E = 4 k qi               E = kqi
    r2
    onde qi é a carga no interior da esfera de raio r, a qual calcula-se por integração da densidade de carga dentro do volume da esfera. Temos dois casos: quando r é menor que 0,1
    qi = 4 r

    0 
     r2 dr = 4(0,05) r

    0 
    e-3r dr = 0,2094 (1 - e-3r)

    E = 1,88·109 1 - e-3r
    r2
    Quando r é maior ou igual a 0,1 temos
    qi = 4 r

    0 
    r2 dr = 4(0,05) 0,1

    0 
    e-3r dr = 0,2094(1 - e-0,3)

    E = 4,89·108
    r2
    Nos dois casos o campo é na direcção radial.

Exame do dia 30-1-98

Docentes: Jaime Villate e Ana Paula Barbosa
Duração: 2 horas.

Pode responder em qualquer ordem e a lápis. O formulário encontra-se no outro lado desta folha.

  1. O campo eléctrico numa região do espaço é igual a (unidades SI)
    E = 4 x y  i+ (2 x2 + 8 y z3)  j+ 12 y2 z2  k

    1. (2 valores) Demonstre que o campo E é conservativo.
    2. (3 valores) Calcule o potencial electrostático (defina V = 0 na origem).
    3. (4 valores) Calcule a carga total dentro do cubo: 0 x 1  cm , 2  cm y 3  cm e 2  cm z 3  cm .

  2. (4 valores) A figura representa o corte transversal dum cilindro sólido, muito comprido, de raio a = 9 cm, que tem uma cavidade cilíndrica de raio b = 3 cm, como se mostra na figura. No cilindro flui uma corrente de densidade uniforme, J = 21  A/m2 . Calcule o campo magnético B no ponto P .

  3. (3 valores) As correntes nos três fios na figura são I1 = 3 A, I2 = 3 A e I3 = 7 A. Desenhe as linhas de campo magnético do sistema.

  4. (4 valores) Se duas resistências forem ligadas em paralelo,

    1. a resistência equivalente é superior à mais forte, intermédia entre a maior e a mais pequena ou inferior à mais fraca?
    2. qual delas é atravessada pela corrente mais intensa?
    3. nos terminais de qual a diferença de potencial é maior?
    4. em qual é dissipada maior potência na forma de calor?

Resolução do exame do dia 30-1-98

    1. Para demonstrar que o campo é conservativo, basta demonstrar que as derivadas cruzadas das três componentes do campo são iguais:
      Ex
      y
      = 4x = Ey
      x

      Ex
      z
      = 0 = Ez
      x

      Ey
      z
      = 24 y z2 = Ez
      y

    2. O potencial no ponto (x,y,z) é igual a menos o integral de linha desde a origem (onde arbitramos V = 0) até o ponto:
      V(x,y,z)
      =
      - x

      0 
      Ex(x,0,0) dx - y

      0 
      Ey(x,y,0) dy - z

      0 
      Ez(x,y,z)  dz
      =
      - x

      0 
      0  dx - 2 x2 y

      0 
       dy - 12 y2 z

      0 
      z2  dz
      =
      -2 y x2 - 4 y2 z3

    3. A densidade de carga pode ser calculada a partir do campo eléctrico usando a forma diferencial da lei de Gauss
      =
      o ·E = o Ex
      x
      + Ey
      y
      + Ez
      z
      =
      o ( 4 y + 8 z3 + 24 y2 z )
      e a carga dentro do cubo obtem-se integrando a densidade de carga dentro do cubo
      q
      =
      0 0,03

      0,02 
      0,03

      0,02 
      0,01

      0 
      ( 4y + 8z3 + 24y2z )  dx  dy  dz
      =
      1
      4k
      [2·10-4(0,032 - 0,022) + 2·10-4(0,034 - 0,024)
      + 4·10-2 (0,033 - 0,023) (0,032 - 0,022)]
      =
      8,89·10-19  C
      (carga de aproximadamente 6 protões!).

  1. A corrente no cilindro pode ser obtida por sobreposição de uma corrente uniforme num cilindro de raio a, com J = 21 A/m2 , mais outra corrente uniforme num cilindro de raio b, com J = -21 A/m2 . O campo magnético no ponto P calcula-se usando a lei de Ampère (a lei de Biot-Savart não pode ser usada por ser válida unicamente para fios unidimensionais). As linhas de campo produzidas por cada cilindro são círculos concêntricos com o respectivo cilindro e raio igual à distância entre o centro e o ponto P; assim para o cilindro de raio b o raio da linha de campo que passa por P é zero, e portanto a corrente interna Ic é também nula e o campo é zero. O campo total será só o campo produzido pelo cilindro de raio a a uma distância b desde o centro:


    C 
    B·dr = 4  km Ic

    2  b B = 4km (b2 J)

    B = 2 b km J = 0,396·10-6  T
    a direcção do campo obtem-se usando a regra da mão direita e segundo o desenho será a direcção do versor  k.

  2. Perto de cada fio, o campo vai ser aproximadamente igual ao campo produzido pelo respectivo fio, e portanto as linhas de campo serão círculos orientados segundo a regra da mão direita:

    a corrente total é (7 - 3 - 3) A = 1 A, para dentro da folha; vistos de longe, os três fios vão parecer um só fio com corrente de 1 A para dentro, cujas linhas de campo correspondem a círculos orientados no sentido horário:

    finalmente, observamos regiões onde a direcção do campo sofre uma inversão, onde deverão necessariamente existir pontos de campo nulo, ou seja pontos onde as linhas de campo aparentemente se cruzam:

    1. O inverso da resistência equivalente é
      1
      R
      = 1
      R1
      + 1
      R2
      como 1/R1 e 1/R2 são números positivos, temos que
      1
      R
      > 1
      R1
             1
      R
      > 1
      R2
      e como as resistências são números positivos
      R < R1        R < R2
      a resistência equivalente é menor que a resistência mais fraca (menor que as duas resistências).

    2. A diferença de potencial de duas resistências em paralelo é a mesma pela própria definição de resistências em paralelo. Usando a lei de Ohm temos que
      V = I1 R1 = I2 R2
      e concluímos que a resistência menor deverá ser atravessada pela corrente maior, para que o produto IR seja constante.

    3. Como já foi dito na alínea anterior, a diferença de potencial é a mesma nas duas resistências.

    4. A potência dissipada em cada resistência é
      Pi = V Ii = V2
      Ri
      como a diferença de potencial é a mesma nas duas resistências, a resistência que dissipa maior potência será a menor das duas.

Exame do dia 13-2-98

Docentes: Jaime Villate e Ana Paula Barbosa
Duração: 2 horas.

Pode responder em qualquer ordem e a lápis. O formulário encontra-se no outro lado desta folha.

  1. (4 valores) No circuito que aparece na figura, a leitura do amperímetro é a mesma quando os dois interruptores estão abertos e quando os dois estão fechados. Calcule a resistência R.

  2. (4 valores) Um condutor esférico oco tem raio interno a e externo b. Uma carga pontual positiva q está no centro da esfera e o condutor está descarregado. Calcule o potencial V(r) em todos os pontos, admitindo que V = 0 em r = , e desenhe o gráfico de V(r).

  3. (5 valores) Um fio condutor fino tem uma densidade linear de carga uniforme e está encurvado formando um arco circular que subtende um ângulo 2 o, conforme mostra a figura. Mostre que o campo eléctrico no ponto O tem módulo E = (2 k  sin o)/R.

  4. (4 valores) Uma espira quadrada de cobre, com 4 cm de lado encontra-se sobre a superfície horizontal de uma mesa. Um electroíman está colocado por cima da mesa, com o seu pólo norte um pouco acima e à esquerda da espira, de maneira que o campo magnético é aproximadamente uniforme e aponta para baixo através da espira, formando um ângulo de 30° com a vertical. Calcule a fem média induzida na espira a medida que o campo magnético varia desde zero até o seu valor final de 0.5 T, em 200 ms. Qual será a direcção da corrente induzida?

  5. (3 valores) Defina: onda plana, onda polarizada e onda harmónica.

[Índice] [Anterior]


Jaime Villate