2º Exame, 2-2-99

Anterior: Resolução do exame do 15-1-99
Nodo Superior: Índice

Duração: 2 horas e meia. Com consulta de tabelas de transformadas e uso de qualquer tipo de calculadora.

  1. (4 valores) Encontre a solução geral da equação diferencial linear
    (x2 - 3 x + 2) y''+ x y'- y = 3 x
    sabendo que as seguintes funções são soluções particulares da equação homogénea correspondente:
    y1 = x        y2 = 1
    x - 2

  2. (4 valores) Encontre a solução do seguinte problema de valores iniciais, para qualquer função f(t) parcelarmente contínua e de ordem exponencial
    y ''+ y'- 2 y = f(t)       y(0) = 0        y'(0) = 1

  3. (4 valores) Encontre a solução do sistema de equações diferenciais:
    x'1 = 2 x1 + 3 x2 + 2 t2 + t      
          
    x1(0) = 5
    x'2 = x1 + 4 x2 + t2 + t - 1
          
    x2(0) = 1

  4. (4 valores) Um doente toma diariamente 100 mg de uma certa droga para controlar a sua asma. A droga é eliminada do corpo do doente de forma que cada dia a quantidade de droga no corpo diminui 25 %. Seja yn a quantidade de droga no corpo do doente imediatamente depois de tomar a dose número n+1, n dias depois de começar o tratamento (assim, imediatamente a seguir à primeira dose y0 = 100). Calcule a quantidade limite de droga no corpo do doente (y). Qual devia ser a dose diária da droga para se obter um limite de 800 mg da droga no corpo do doente?

  5. (4 valores) Resolva a equação de derivadas parciais:
    2 v
    x2
    + 3 x y =  e-2x
    no domínio 0 x 1 e y qualquer número real, com as seguintes condições fronteira:
    v(0, y) = 4 siny        v
    x
    (1, y) = 6 (siny - y)


Jaime Villate