Resolução do exame do 15-1-99

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  1. A equação pode ser escrita na forma:
    y'- 4
    (x + 2)2
    y = (x + 2)5
    a qual é uma equação linear de primeira ordem. O factor integrante é igual a
    = exp -4  dx
    (x + 2)2
    =  e4/(x + 2)
    multiplicando os dois lados da equação por e agrupando os termos no lado esquerdo, obtemos

    d  
    dx
    [y  e4/(x + 2)] = (x + 2)5  e4/(x + 2)
        y  e4/(x + 2) = (x + 2)5  e4/(x + 2)  dx + C

    A primitiva não pode ser calculada analiticamente e, assim, convém escrever explicitamente os limites de integração, desde um valor arbitrário x0 até a variável x. Para facilitar o cálculo da constante C, escolhemos x0 = 0 que conduz à solução

    y =  e-4/(x + 2) x

    0 
    (t + 2)5  e4/(t + 2)  dt + C
    O valor da constante C obtém-se substituindo a condição inicial:
    y(0) = C  e-2 = 8         C = 8  e2

  2. Usando a função degrau unitário, a função f(t) escreve-se
    f(t) = t [1 - u(t - 1)] +  e-2t [u(t - 1) - u(t - 2)] + 2 u(t - 2)
    Para poder usar a propriedade de deslocamento no domínio do tempo, é preciso re-escrever a função na forma
    f(t) = t - [(t - 1) + 1]u(t - 1) +  e-2 e-2(t-1)u(t - 1) -  e-4 e-2(t-2)u(t - 2) + 2 u(t - 2)
    usando a tabela de transfomadas de Laplace, obtemos a transformada de f:
    F(s) = 1
    s2
    +  e-s  e-2
    s + 2
    - 1
    s2
    - 1
    s
    +  e-2s 2
    s
    -  e-4
    s + 2

  3. A equação característica é:






    (1 - )  
    0
    -1
    0
    (2 - )
    0
    1
    0
    (1 - )





    = (2 - )[(- 1)2 + 1] = 0
    e, portanto, os valores próprios são
    1 = 2        2 = 1 +  i       3 = 1 -  i
    um vector próprio (v1) correspondente a 1 = 2 obtém-se a partir da solução do sistema






    -1
    0
    -1
    0
    0
    0
    1
    0
    -1





    0
    0
    0





            v1 =




    0
    1
    0





    e a solução particular correspondente a v1 é

     eAt v1 =




    0
     e2t
    0





    Outras duas soluções linearmente independentes podem ser obtidas a partir de 2 ou 3. Para 3 = 1 -  i obtemos:






     i
    0
    -1
    0
    (1 +  i)
    0
    1
    0
     i





    0
    0
    0





            w =




    1
    0
     i





    A partir de w pode obter-se uma solução particular complexa:

     eAt w =  e(1- i)t




    1
    0
     i





    =  et




    cost -  isint
    0
    sint +  icost





    As partes real e imaginária desta solução são também soluções, e junto com a solução obtida a partir de 1, constituem um conjunto fundamental de soluções do sistema:

     eAt v1 =




    0
     e2t
    0





    ,      et




    cost
    0
    sint





    ,      et




    -sint
    0
    cost





    A solução geral do sistema é qualquer combinação linear do conjunto fundamental de soluções:

    x(t) =




    0
     et cost
    - et sint
     e2t
    0
    0
    0
     et sint
     et cost










    c1
    c2
    c3





  4. Os dois factores lineares que aparecem na equação, podem ser escritos na forma fn+1/fn usando factoriais
    n + 1 = (n + 1)!
    n!
           n + 4 = (n + 4)!
    (n + 3)!
    Substituindo na equação de diferenças e re-agrupando termos obtemos
    (n + 1)!
    (n + 4)!
    yn+1 + 2 n!
    (n + 3)!
    yn = 0
    usando a substituição
    an = n!
    (n + 3)!
    yn
    obtemos uma equação de coeficientes constantes para a sucessão an:
    an+1 + 2 an = 0
    A equação característica tem uma única raiz = -2 e, assim, a solução geral é
    an = a0 (-2)n         yn = a0 (n + 3)!(-2)n
    n!
    Para n = 0 obtém-se (y0 = 6 a0 = 2) e, portanto, a0 = 1/3
    yn = (n + 3)!(-2)n
    3  n!

  5. A equação pode ser resolvida usando a transformada de Fourier de T(x,y). em ordem a y
    tn = T(x,y), n(y) = 2

    0 
    T(x,y) n(y)  dy
    Atendendo às condições fronteira do problema, arbitramos as seguintes condições para as funções próprias
    n'(0) = 0        n(2) = 0
    que conduzem às seguintes funções próprias e valores próprios
    n(y) = cos(n y)        n = (2n + 1)
    4
    as transformadas das derivadas parciais de T são:
    2 T
    x2


    n 
    =  d2 tn
     dx2

    2 T
    y2


    n 
    =
    2

    0 
    2 T
    y2
    cos(n y)  dy = T
    y
    cos(n y)

    2

    0 
    + n 2

    0 
    T
    y
    sin(n y)  dy
    =
    n T sin(n y)

    2

    0 
    - n2 2

    0 
    T cos(n y)  dy = -n2 tn

    A transformada de Fourier da equação de Laplace é

     d2 tn
     dx2
    - n2 tn = 0
    esta é uma equação diferencial ordinária, linear, de coeficientes constantes. As duas raizes do polinómio característico são n e -n, e a solução geral é
    tn = An  en x + Bn  e-n x
    As condições fronteira para tn obtêm-se a partir das transformadas de Fourier das condições fronteira do problema:
    tn(2) = T(2,y), n(y) = 0
    dtn(0)
    dx
    = u(1 - y), n(y) = 1

    0 
    cos(n y)  dy = sinn
    n
    substituindo estas condições na solução geral tn(x), obtemos
    An - Bn = sinn
    n2
    An  e2n + Bn  e-2n = 0
    Resolvendo este sistema, obtemos as constantes An, Bn e a solução particular
    tn = sinn  e-2n
    2n2cosh(2n)
     en x - sinn  e2n
    2n2cosh(2n)
     e-n x
    A função T(x,y) é dada pela série de Fourier
    T(x, y) =

    n = 0 
    sinn
    n2cosh(2n)
    sinh[n(x - 2)] cos(n y)


Jaime Villate