Resoluçaõ do teste de 10-12-98

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    1. A equação característica é:






      -(1 + )  
      0
      3
      1
      (1 - )
      1
      -4
      0
      (6 - )





      = -(- 1)(2 - 5 + 6) = 0
      e, portanto, os valores próprios são
      1 = 1        2 = 2        3 = 3
      os vectores próprios correspondentes a 1 = 1 são as soluções do sistema





      -2
      0
      3
      1
      0
      1
      -4
      0
      5





      0
      0
      0










      0
      1
      0





      para 2 = 2 temos:





      -3
      0
      3
      1
      -1
      1
      -4
      0
      4





      0
      0
      0










      1
      2
      1





      e para 3 = 3:





      -4
      0
      3
      1
      -2
      1
      -4
      0
      3





      0
      0
      0










      6
      7
      8





      Os vectores próprios são

      c1




      0
      1
      0





          c2




      1
      2
      1





          c3




      6
      7
      8





      onde c1, c2 e c3 são três constantes arbitrárias.

    2. O ponto x = 0 é um ponto ordinário e, assim, a solução geral da equação diferencial pode ser representada por uma série de Maclaurin:
      y =

      n = 0 
      an xn
      As condições iniciais definem os valores das duas primeiras constantes
      a0 = y(0) = 0        a1 = y'(0) = 2
      1/2
      substituindo a série de Maclaurin na equação diferencial obtemos:


      n = 2 
      n (n - 1) an xn-2 + 2

      n = 0 
      n an xn = 0


      n = 0 
      [(n + 1)(n + 2) an+2 + 2 n an] xn = 0
      A fórmula de recorrência é:
      (n + 1)(n + 2) an+2 + 2 n an = 0        (n = 0, 1, 2,...)
      ou, em função de bn = n an,
      (n + 1) bn+2 + 2 bn = 0
      Como b0 = a0 = 0, todos os termos de ordem par serão nulos. Para n = 2m + 1 temos:
      2 (m + 1) b2m+3 + 2 b2m+1 = 0
      e definindo cm = m! b2m + 1 obtemos uma equação de coeficientes constantes:
      cm+1 + cm = 0 cm = (-1)m c0
      onde
      c0 = b1 = a1 = 2
      1/2

      O termo geral da sucessão a2m+1 é:

      a2m+1 = b2m+1
      2m + 1
      = cm
      m! (2m + 1)
      = 2 (-1)m
      1/2 m! (2m + 1)
      e a série de Maclaurin da função de erro é:
      2
      1/2


      m = 0 
      (-1)m x2m+1
      m! (2m + 1)

      Outra forma de obter a série consiste em resolver a equação diferencial por separação de variáveis para obter:

      y(x) = 2
      1/2
      x

      0 
       e-t2  dt
      seguidamente substitui-se a série de Mclaurin para a função exponencial e integra-se cada termo na série.

  1. Usando expansão em fracções parciais:
    20s
    (s - 1)(s2 - 4s + 13)
    = A
    s - 1
    + 3 B
    (s - 2)2 + 9
    + C (s - 2)
    (s - 2)2 + 9
    multiplicando os dois lados por (s - 1) e substituindo s = 1 obtemos:
    A = 2
    para s = 2 temos:
    40
    9
    = 2 + 3 B
    9
                  B = 22
    3
    e para s = 0:

    0 = -2 + 22
    13
    - 2C
    13
                  C = -2
    Usando a tabela de transformadas, a transformada inversa é:
    u(t - 5)  e(t-5) +  e2(t-5)
    22
    3
    sin(3t - 15) - 2 cos(3 t - 15)

  2. A transformada Z da equação é:
    z2 _
    y
     
    - 4 z _
    y
     
    + 13 _
    y
     
    = 10 z
    z - 1
    e, portanto, a transformada da sucessão yn é:
    _
    y
     
    = 10 z
    (z - 1)
    (z - 2)2 + 9
    = A z
    z - 1
    + 3 B z
    (z - 2)2 + 9
    + C z (z - 2)
    (z - 2)2 + 9
    multiplicando os dois lados por z - 1 e substituindo z = 1, obtemos o valor da constante A = 10. Para z = 2 temos:
    10
    9
    = 10 + 3 B
    9
                  B = - 80
    3
    Finalmente, dividindo por z e substituindo z = 0:
    - 10
    13
    = -10 - 80
    13
    - 2 C
    13
                  C = 100
    Usando a tabela para calcular as transformadas inversas obtemos:
    yn = 10 + 10  rn
    10 cos(n ) - 8
    3
    sin(n )
    onde r = 131/2 e = arctg (1,5).


Jaime Villate