Exame de recurso, 21-2-98

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Nodo Superior: Índice

Duração: 2 horas e meia. Com consulta de tabelas de transformadas e uso de qualquer tipo de calculadora.

  1. (4 valores) Encontre a solução geral da seguinte equação diferencial
    (12x - 3y -3)dx + (x - 2y + 12)dy = 0

  2. (5 valores) Resolva o problema
    2 v
    t2
    		 = 2 v
    x2
          
    (0 < x < 1, t > 0)        v(0,t) = v(1,t) = 0
    		(1)
          
    v(x,0) = x(1 - x)        v
    t

    t = 0 
    		 = sin(7x)
    		(2)

  3. (3 valores) Encontre a solução do seguinte problema de valores iniciais
    y''+ y = t - t u(t-2)       y(0) = 0        y'(0) = 1

  4. (4 valores) Encontre as trajectórias ortogonais da família de curvas x2 + y2 = k x , onde k é um parâmetro real.

  5. (4 valores) Considere a seguinte família de equações diferenciais, onde n é um parâmetro inteiro positivo
    x y''+ (1 - x)y'+ n y = 0
    Demonstre que existe uma família de polinómios de grau n que são soluções das respectivas equações (não precisa calcular os polinómios, só mostrar que existem).

Jaime Villate