1º Exame, 16-1-98

Resolução do exame do 16-1-98 Índice

Duração: 2 horas e meia. Com consulta de tabelas de transformadas e uso de qualquer tipo de calculadora.

1. (3 valores) Encontre a solução da seguinte equação integral

   y(t) = 4t2 - 4 t 0   e4(t - s) y(s) ds

2. (5 valores) Resolva o seguinte sistema de equações

   d   dt x1 x2 = 0 -9 1 0 x1 x2 + t 2        x(0) = 0 1

3. (4 valores)

   1. Demonstre que a função

      v(x,t) =  e-4t sin x      (t > 0)        (0 < x < )

      é a solução do problema

      v t = 4 2 v x2        v(x,0) = sin x        v(0,t) = v(, t) = 0

   2. Enuncie o teorema de Picard para equações diferenciais ordinárias de primeira ordem.

4. (3 valores) Encontre a solução da equação diferencial

   dy dx = y y3 - 2x        y(2) = 1

5. (5 valores) Admita que a população actual de baleias no mundo é 1000 e que cada ano o aumento natural (nascimentos e mortes naturais) da população é de 25%. Admita também que o número de baleias abatidas pelos pescadores cada ano é de 300 e que está tendência vai se manter nos próximos anos. Calcule a população, P_n (onde n é o número de anos a partir do ano actual) durante os próximos anos.