1º Exame, 16-1-98

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Nodo Superior: Índice

Duração: 2 horas e meia. Com consulta de tabelas de transformadas e uso de qualquer tipo de calculadora.

  1. (3 valores) Encontre a solução da seguinte equação integral
    y(t) = 4t2 - 4 t

    0 
     e4(t - s) y(s) ds

  2. (5 valores) Resolva o seguinte sistema de equações
    d  
    dt


    x1
    x2


    =

    0
    -9
    1
    0




    x1
    x2


    +

    t
    2


           x(0) =

    0
    1


  3. (4 valores)

    1. Demonstre que a função
      v(x,t) =  e-4t sin x      (t > 0)        (0 < x < )
      é a solução do problema
      v
      t
      = 4 2 v
      x2
             v(x,0) = sin x        v(0,t) = v(, t) = 0

    2. Enuncie o teorema de Picard para equações diferenciais ordinárias de primeira ordem.

  4. (3 valores) Encontre a solução da equação diferencial
    dy
    dx
    = y
    y3 - 2x
           y(2) = 1

  5. (5 valores) Admita que a população actual de baleias no mundo é 1000 e que cada ano o aumento natural (nascimentos e mortes naturais) da população é de 25%. Admita também que o número de baleias abatidas pelos pescadores cada ano é de 300 e que está tendência vai se manter nos próximos anos. Calcule a população, Pn (onde n é o número de anos a partir do ano actual) durante os próximos anos.


Jaime Villate