Ano lectivo 1998-99

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1º Teste, 29-10-98

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Duração: 1 hora. Sem consulta. Pode usar qualquer tipo de calculadora para resolver primitivas.

Encontre a solução geral das seguintes equações:

  1. x dy - (y + x3  e2x) dx = 0

  2. 2y''- 8y'+ 8y = 4 e2xcos(3x)


2º Teste, 10-12-98

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Duração: 1 hora. Com consulta de tabelas de transformadas e uso de qualquer tipo de calculadora. Resolva o problema 1 e unicamente um dos problemas 2 ou 3

  1. (10 valores, obrigatório)

    1. Encontre os vectores próprios da matriz:





      -1
      0
      3
      1
      1
      1
      -4
      0
      6





    2. A função de erro é a solução do problema:
      y''+ 2xy' = 0        y(0) = 0        y'(0) = 2
      1/2
      Encontre a série de Maclaurin da função de erro.

  2. (10 valores, facultativo) Calcule a transformada inversa de Laplace de:
    20s e-5s
    (s - 1)(s2 - 4s + 13)

  3. (10 valores, facultativo) Encontre a solução do problema:
    yn+2 - 4 yn+1 + 13 yn = 10        y0 = y1 = 0


Resoluçaõ do teste de 10-12-98

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    1. A equação característica é:






      -(1 + )  
      0
      3
      1
      (1 - )
      1
      -4
      0
      (6 - )





      = -(- 1)(2 - 5 + 6) = 0
      e, portanto, os valores próprios são
      1 = 1        2 = 2        3 = 3
      os vectores próprios correspondentes a 1 = 1 são as soluções do sistema





      -2
      0
      3
      1
      0
      1
      -4
      0
      5





      0
      0
      0










      0
      1
      0





      para 2 = 2 temos:





      -3
      0
      3
      1
      -1
      1
      -4
      0
      4





      0
      0
      0










      1
      2
      1





      e para 3 = 3:





      -4
      0
      3
      1
      -2
      1
      -4
      0
      3





      0
      0
      0










      6
      7
      8





      Os vectores próprios são

      c1




      0
      1
      0





          c2




      1
      2
      1





          c3




      6
      7
      8





      onde c1, c2 e c3 são três constantes arbitrárias.

    2. O ponto x = 0 é um ponto ordinário e, assim, a solução geral da equação diferencial pode ser representada por uma série de Maclaurin:
      y =

      n = 0 
      an xn
      As condições iniciais definem os valores das duas primeiras constantes
      a0 = y(0) = 0        a1 = y'(0) = 2
      1/2
      substituindo a série de Maclaurin na equação diferencial obtemos:


      n = 2 
      n (n - 1) an xn-2 + 2

      n = 0 
      n an xn = 0


      n = 0 
      [(n + 1)(n + 2) an+2 + 2 n an] xn = 0
      A fórmula de recorrência é:
      (n + 1)(n + 2) an+2 + 2 n an = 0        (n = 0, 1, 2,...)
      ou, em função de bn = n an,
      (n + 1) bn+2 + 2 bn = 0
      Como b0 = a0 = 0, todos os termos de ordem par serão nulos. Para n = 2m + 1 temos:
      2 (m + 1) b2m+3 + 2 b2m+1 = 0
      e definindo cm = m! b2m + 1 obtemos uma equação de coeficientes constantes:
      cm+1 + cm = 0 cm = (-1)m c0
      onde
      c0 = b1 = a1 = 2
      1/2

      O termo geral da sucessão a2m+1 é:

      a2m+1 = b2m+1
      2m + 1
      = cm
      m! (2m + 1)
      = 2 (-1)m
      1/2 m! (2m + 1)
      e a série de Maclaurin da função de erro é:
      2
      1/2


      m = 0 
      (-1)m x2m+1
      m! (2m + 1)

      Outra forma de obter a série consiste em resolver a equação diferencial por separação de variáveis para obter:

      y(x) = 2
      1/2
      x

      0 
       e-t2  dt
      seguidamente substitui-se a série de Mclaurin para a função exponencial e integra-se cada termo na série.

  1. Usando expansão em fracções parciais:
    20s
    (s - 1)(s2 - 4s + 13)
    = A
    s - 1
    + 3 B
    (s - 2)2 + 9
    + C (s - 2)
    (s - 2)2 + 9
    multiplicando os dois lados por (s - 1) e substituindo s = 1 obtemos:
    A = 2
    para s = 2 temos:
    40
    9
    = 2 + 3 B
    9
                  B = 22
    3
    e para s = 0:

    0 = -2 + 22
    13
    - 2C
    13
                  C = -2
    Usando a tabela de transformadas, a transformada inversa é:
    u(t - 5)  e(t-5) +  e2(t-5)
    22
    3
    sin(3t - 15) - 2 cos(3 t - 15)

  2. A transformada Z da equação é:
    z2 _
    y
     
    - 4 z _
    y
     
    + 13 _
    y
     
    = 10 z
    z - 1
    e, portanto, a transformada da sucessão yn é:
    _
    y
     
    = 10 z
    (z - 1)
    (z - 2)2 + 9
    = A z
    z - 1
    + 3 B z
    (z - 2)2 + 9
    + C z (z - 2)
    (z - 2)2 + 9
    multiplicando os dois lados por z - 1 e substituindo z = 1, obtemos o valor da constante A = 10. Para z = 2 temos:
    10
    9
    = 10 + 3 B
    9
                  B = - 80
    3
    Finalmente, dividindo por z e substituindo z = 0:
    - 10
    13
    = -10 - 80
    13
    - 2 C
    13
                  C = 100
    Usando a tabela para calcular as transformadas inversas obtemos:
    yn = 10 + 10  rn
    10 cos(n ) - 8
    3
    sin(n )
    onde r = 131/2 e = arctg (1,5).


1º Exame, 15-1-99

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Duração: 2 horas e meia. Com consulta de tabelas de transformadas e uso de qualquer tipo de calculadora.

  1. (3 valores) Resolva a equação diferencial ordinária
    (x + 2)2 y' = 4 y + (x + 2)7
    com a condição inicial y(0) = 8

  2. (4 valores) Calcule a transformada de Laplace da função
    f(t) =
    t,
    0 t 1
     e-2t,
    1 t 2
    2,
    2 t

  3. (4 valores) Encontre a solução geral do sistema de equações diferenciais x' = A x, onde A é a seguinte matriz:
    A =




    1
    0
    -1
    0
    2
    0
    1
    0
    1





  4. (4 valores) Sabendo que y0 = 2, encontre a solução da seguinte equação de diferenças:
    (1 + n) yn+1 + (2 n + 8) yn = 0

  5. (5 valores) Resolva a equação de Laplace:
    2 T
    x2
    + 2 T
    y2
    = 0
    para as seguintes condições fronteira:
    T
    x
    (0, y) = u(1 - y)       T
    y
    (x, 0) = 0        T(2, y) = 0        T(x, 2) = 0


Resolução do exame do 15-1-99

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  1. A equação pode ser escrita na forma:
    y'- 4
    (x + 2)2
    y = (x + 2)5
    a qual é uma equação linear de primeira ordem. O factor integrante é igual a
    = exp -4  dx
    (x + 2)2
    =  e4/(x + 2)
    multiplicando os dois lados da equação por e agrupando os termos no lado esquerdo, obtemos

    d  
    dx
    [y  e4/(x + 2)] = (x + 2)5  e4/(x + 2)
        y  e4/(x + 2) = (x + 2)5  e4/(x + 2)  dx + C

    A primitiva não pode ser calculada analiticamente e, assim, convém escrever explicitamente os limites de integração, desde um valor arbitrário x0 até a variável x. Para facilitar o cálculo da constante C, escolhemos x0 = 0 que conduz à solução

    y =  e-4/(x + 2) x

    0 
    (t + 2)5  e4/(t + 2)  dt + C
    O valor da constante C obtém-se substituindo a condição inicial:
    y(0) = C  e-2 = 8         C = 8  e2

  2. Usando a função degrau unitário, a função f(t) escreve-se
    f(t) = t [1 - u(t - 1)] +  e-2t [u(t - 1) - u(t - 2)] + 2 u(t - 2)
    Para poder usar a propriedade de deslocamento no domínio do tempo, é preciso re-escrever a função na forma
    f(t) = t - [(t - 1) + 1]u(t - 1) +  e-2 e-2(t-1)u(t - 1) -  e-4 e-2(t-2)u(t - 2) + 2 u(t - 2)
    usando a tabela de transfomadas de Laplace, obtemos a transformada de f:
    F(s) = 1
    s2
    +  e-s  e-2
    s + 2
    - 1
    s2
    - 1
    s
    +  e-2s 2
    s
    -  e-4
    s + 2

  3. A equação característica é:






    (1 - )  
    0
    -1
    0
    (2 - )
    0
    1
    0
    (1 - )





    = (2 - )[(- 1)2 + 1] = 0
    e, portanto, os valores próprios são
    1 = 2        2 = 1 +  i       3 = 1 -  i
    um vector próprio (v1) correspondente a 1 = 2 obtém-se a partir da solução do sistema






    -1
    0
    -1
    0
    0
    0
    1
    0
    -1





    0
    0
    0





            v1 =




    0
    1
    0





    e a solução particular correspondente a v1 é

     eAt v1 =




    0
     e2t
    0





    Outras duas soluções linearmente independentes podem ser obtidas a partir de 2 ou 3. Para 3 = 1 -  i obtemos:






     i
    0
    -1
    0
    (1 +  i)
    0
    1
    0
     i





    0
    0
    0





            w =




    1
    0
     i





    A partir de w pode obter-se uma solução particular complexa:

     eAt w =  e(1- i)t




    1
    0
     i





    =  et




    cost -  isint
    0
    sint +  icost





    As partes real e imaginária desta solução são também soluções, e junto com a solução obtida a partir de 1, constituem um conjunto fundamental de soluções do sistema:

     eAt v1 =




    0
     e2t
    0





    ,      et




    cost
    0
    sint





    ,      et




    -sint
    0
    cost





    A solução geral do sistema é qualquer combinação linear do conjunto fundamental de soluções:

    x(t) =




    0
     et cost
    - et sint
     e2t
    0
    0
    0
     et sint
     et cost










    c1
    c2
    c3





  4. Os dois factores lineares que aparecem na equação, podem ser escritos na forma fn+1/fn usando factoriais
    n + 1 = (n + 1)!
    n!
           n + 4 = (n + 4)!
    (n + 3)!
    Substituindo na equação de diferenças e re-agrupando termos obtemos
    (n + 1)!
    (n + 4)!
    yn+1 + 2 n!
    (n + 3)!
    yn = 0
    usando a substituição
    an = n!
    (n + 3)!
    yn
    obtemos uma equação de coeficientes constantes para a sucessão an:
    an+1 + 2 an = 0
    A equação característica tem uma única raiz = -2 e, assim, a solução geral é
    an = a0 (-2)n         yn = a0 (n + 3)!(-2)n
    n!
    Para n = 0 obtém-se (y0 = 6 a0 = 2) e, portanto, a0 = 1/3
    yn = (n + 3)!(-2)n
    3  n!

  5. A equação pode ser resolvida usando a transformada de Fourier de T(x,y). em ordem a y
    tn = T(x,y), n(y) = 2

    0 
    T(x,y) n(y)  dy
    Atendendo às condições fronteira do problema, arbitramos as seguintes condições para as funções próprias
    n'(0) = 0        n(2) = 0
    que conduzem às seguintes funções próprias e valores próprios
    n(y) = cos(n y)        n = (2n + 1)
    4
    as transformadas das derivadas parciais de T são:
    2 T
    x2


    n 
    =  d2 tn
     dx2

    2 T
    y2


    n 
    =
    2

    0 
    2 T
    y2
    cos(n y)  dy = T
    y
    cos(n y)

    2

    0 
    + n 2

    0 
    T
    y
    sin(n y)  dy
    =
    n T sin(n y)

    2

    0 
    - n2 2

    0 
    T cos(n y)  dy = -n2 tn

    A transformada de Fourier da equação de Laplace é

     d2 tn
     dx2
    - n2 tn = 0
    esta é uma equação diferencial ordinária, linear, de coeficientes constantes. As duas raizes do polinómio característico são n e -n, e a solução geral é
    tn = An  en x + Bn  e-n x
    As condições fronteira para tn obtêm-se a partir das transformadas de Fourier das condições fronteira do problema:
    tn(2) = T(2,y), n(y) = 0
    dtn(0)
    dx
    = u(1 - y), n(y) = 1

    0 
    cos(n y)  dy = sinn
    n
    substituindo estas condições na solução geral tn(x), obtemos
    An - Bn = sinn
    n2
    An  e2n + Bn  e-2n = 0
    Resolvendo este sistema, obtemos as constantes An, Bn e a solução particular
    tn = sinn  e-2n
    2n2cosh(2n)
     en x - sinn  e2n
    2n2cosh(2n)
     e-n x
    A função T(x,y) é dada pela série de Fourier
    T(x, y) =

    n = 0 
    sinn
    n2cosh(2n)
    sinh[n(x - 2)] cos(n y)


2º Exame, 2-2-99

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Duração: 2 horas e meia. Com consulta de tabelas de transformadas e uso de qualquer tipo de calculadora.

  1. (4 valores) Encontre a solução geral da equação diferencial linear
    (x2 - 3 x + 2) y''+ x y'- y = 3 x
    sabendo que as seguintes funções são soluções particulares da equação homogénea correspondente:
    y1 = x        y2 = 1
    x - 2

  2. (4 valores) Encontre a solução do seguinte problema de valores iniciais, para qualquer função f(t) parcelarmente contínua e de ordem exponencial
    y ''+ y'- 2 y = f(t)       y(0) = 0        y'(0) = 1

  3. (4 valores) Encontre a solução do sistema de equações diferenciais:
    x'1 = 2 x1 + 3 x2 + 2 t2 + t      
          
    x1(0) = 5
    x'2 = x1 + 4 x2 + t2 + t - 1
          
    x2(0) = 1

  4. (4 valores) Um doente toma diariamente 100 mg de uma certa droga para controlar a sua asma. A droga é eliminada do corpo do doente de forma que cada dia a quantidade de droga no corpo diminui 25 %. Seja yn a quantidade de droga no corpo do doente imediatamente depois de tomar a dose número n+1, n dias depois de começar o tratamento (assim, imediatamente a seguir à primeira dose y0 = 100). Calcule a quantidade limite de droga no corpo do doente (y). Qual devia ser a dose diária da droga para se obter um limite de 800 mg da droga no corpo do doente?

  5. (4 valores) Resolva a equação de derivadas parciais:
    2 v
    x2
    + 3 x y =  e-2x
    no domínio 0 x 1 e y qualquer número real, com as seguintes condições fronteira:
    v(0, y) = 4 siny        v
    x
    (1, y) = 6 (siny - y)

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Jaime Villate