Ano lectivo 1997-98

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1º Exame, 16-1-98

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Duração: 2 horas e meia. Com consulta de tabelas de transformadas e uso de qualquer tipo de calculadora.

  1. (3 valores) Encontre a solução da seguinte equação integral
    y(t) = 4t2 - 4 t

    0 
     e4(t - s) y(s) ds

  2. (5 valores) Resolva o seguinte sistema de equações
    d  
    dt


    x1
    x2


    =

    0
    -9
    1
    0




    x1
    x2


    +

    t
    2


           x(0) =

    0
    1


  3. (4 valores)

    1. Demonstre que a função
      v(x,t) =  e-4t sin x      (t > 0)        (0 < x < )
      é a solução do problema
      v
      t
      = 4 2 v
      x2
             v(x,0) = sin x        v(0,t) = v(, t) = 0

    2. Enuncie o teorema de Picard para equações diferenciais ordinárias de primeira ordem.

  4. (3 valores) Encontre a solução da equação diferencial
    dy
    dx
    = y
    y3 - 2x
           y(2) = 1

  5. (5 valores) Admita que a população actual de baleias no mundo é 1000 e que cada ano o aumento natural (nascimentos e mortes naturais) da população é de 25%. Admita também que o número de baleias abatidas pelos pescadores cada ano é de 300 e que está tendência vai se manter nos próximos anos. Calcule a população, Pn (onde n é o número de anos a partir do ano actual) durante os próximos anos.


Resolução do exame do 16-1-98

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  1. O integral no lado direito da equação é um integral de convolução entre as funções y e exp(4t)
    y(t) = 4t2 - 4  e4t *y(t)
    calculando a transformada de Laplace nos dois lados da equação, obtemos uma equação algébrica
    Y(s) = 8
    s3
    - 4
    s - 4
    Y(s)
    onde Y(s) é a transformada de y. Multiplicando os dois lados da equação por s-4 obtemos
    sY = 8(s - 4)
    s3
    e resolvendo para Y
    Y = 8
    s3
    - 32
    s4
    a transformada inversa dá a solução da equação
    y = 4 t2 - 16
    3
    t3

  2. Usando o operador D (derivada em função do tempo), as duas equações diferenciais são
    D x1
    =
    - 9 x2 + t
    D x2
    =
    x1 + 2
    para eliminar uma das variáveis, podemos multiplicar a segunda equação pelo operador D e substituir D x1 usando a primeira equação
    D (D x2) = D x1        D2 x2 = -9 x2 + t
    esta última é uma equação diferencial ordinária, linear de coeficientes constantes. O polinómio característico é
    2 = -9
    com duas raizes imaginárias ±3i. A solução geral da equação homogénea é
    x2 = C1 cos(3t) + C2 sin(3t)
    para encontrar uma solução particular podemos usar o método dos coeficientes indeterminados. Considerando o lado direito da equação e a solução da equação homogénea, concluimos que existe uma solução da forma
    x2 = A + Bt
    onde os coeficientes A e B encontram-se por substituição na equação diferencial
    0 = -9 (A + Bt) + t        A = 0        B = 1
    9
    a solução geral é
    x2 = C1 cos(3t) + C2 sin(3t) + t
    9
    As constantes calculam-se a partir das condições iniciais:
    x2(0) = C1 = 1
    D x2(0) = 3C2 + 1
    9
    = x1(0) + 2 = 0 + 2    C2 = 17
    27
    e finalmente obtemos a solução para x2 é
    x2 = cos(3t) + 17
    27
    sin(3t) + t
    9
    Para calcular x1 podemos usar a segunda equação no sistema original
    x1 = D x2 -2 = -3 sin(3t) + 17
    9
    cos(3t) - 17
    9

    1. Para que a função dada seja solução do problema, o primeiro que devemos mostrar é que verifica as condições fronteira dadas:
      v(x,0) = e0 sin x = sin x
      v(0,t) = e-4t sin 0 = 0
      v(, t) = e-4tsin  = 0
      a seguir calculamos as derivadas que aparecem na equação
      v
      t
      = -4 e-4t sin x
      2 v
      x2
      =   
      x
      (e-4t cos x) = -e-4t sinx
      assim vemos que a função dada verifica a equação diferencial e como também verifica as condições fronteira, é a solução do problema dado.

    2. Teorema de Picard: Dada uma equação diferencial ordinária na forma
      dy
      dx
      = f(x,y)
      e uma condição inicial
      y(xo) = yo
      se a função f(x,y) e a sua derivada parcial f/y são contínuas no ponto (xo, yo), existe solução única do problema de valor inicial, numa vizinhança do ponto (xo, yo).

  3. A equação não corresponde a nenhum dos casos: variáveis separáveis, homogénea, linear ou equação de Bernoulli. Também não é exacta pois
      
    x
    (2x - y3) = 2 y
    y
    Se invertermos a equação obtemos
      dx
    dy
    = y3 - 2x
    y
    a qual é uma equação linear; escrita na forma padrão
    dx
    dy
    + 2
    y
    x = y2
    vemos que o factor integrante é
    = exp 2
    y
    dy = y2
    multiplicando os dois lados da equação por obtemos
    d  
    dy
    (y2x) = y4
     y2x = y5
    5
    + C
    Para calcular o valor da constante de integração, substituimos a condição inicial
    2 = 1
    5
    + C         C = 9
    5
    e a solução (em forma implícita) é
    5 y2x = y5 + 9

  4. Se no ano n a população de baleias fosse Pn, o aumento da população durante esse ano, devido a nascimentos e mortes naturais, seria 0,25 Pn. O aumento (ou diminuição) da população durante esse ano seria
    0,25 Pn - 300
    mas por outro lado o aumento da população durante o período n também deverá ser igual a
    Pn+1 - Pn
    combinando estas duas expressões obtemos uma equação de diferenças
    Pn+1 - Pn = 0,25Pn - 300
    se
    n = 0
    representa o ano actual, a condição inicial necessária para resolver a equação de diferenças é
    P0 = 1 000
    Para resolver a equação podemos usar a transformada Z
    z p - 1 000 z - p = 0,25 p - 300 z
    z - 1
    onde p(z) é a transformada da sucessão Pn. A equação anterior é uma equação algébrica que se resolve facilmente para p
    p
    =
    1 000 z
    z - 1,25
    - 300 z
    (z - 1)(z - 1,25)
    =
    1 000 z
    z - 1,25
    - 1 200 z (z - 1) - (z - 1,25)
    (z - 1)(z - 1,25)
    =
    - 200 z
    z - 1,25
    + 1 200
    z - 1
    a transformada inversa é
    Pn = 1200 - 200 5
    4
    n

     
    obviamente a população não pode ser negativa e portanto a expressão anterior só poderá ser válida para alguns valores de n tais que
    1200 - 200 5
    4
    n

     
    0
    5
    4
    n

     
    6
    n ln 5
    4
    ln 6        n 8,03
    logo a solução do problema é
    Pn =
    1200 - 200 (1,25)n
    0 n 8
    0
    n > 8


2º Exame, 7-2-98

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Duração: 2 horas e meia. Com consulta de tabelas de transformadas e uso de qualquer tipo de calculadora.

  1. (3 valores) Encontre a solução geral da seguinte equação de diferenças
    yn+2 + yn = n2

  2. (5 valores) Encontre a solução geral da seguinte equação diferencial
    y''+ 4y'+ 4y = x cos(2x)

  3. (5 valores) Resolva o problema:
    v
    x
    + y v
    y
    = x y  ex        (y > 0, x > 0)        v(x,0) = 0       v(0,y) = 0

  4. (3 valores) Dada uma função f(x), parcelarmente contínua, definida no domínio 0 < x < L, defina as séries de Fourier seno e co-seno da função, e explique as diferenças entre as duas representações.

  5. (4 valores) Resolva o problema de valor inicial
    y'+ 4 y = f(t)        y(1) = 0
    onde a função f(t) é definida no seguinte gráfico


Exame de recurso, 21-2-98

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Duração: 2 horas e meia. Com consulta de tabelas de transformadas e uso de qualquer tipo de calculadora.

  1. (4 valores) Encontre a solução geral da seguinte equação diferencial
    (12x - 3y -3)dx + (x - 2y + 12)dy = 0

  2. (5 valores) Resolva o problema
    2 v
    t2
    = 2 v
    x2
          
    (0 < x < 1, t > 0)        v(0,t) = v(1,t) = 0
    (1)
          
    v(x,0) = x(1 - x)        v
    t




    t = 0 
    = sin(7x)
    (2)

  3. (3 valores) Encontre a solução do seguinte problema de valores iniciais
    y''+ y = t - t u(t-2)       y(0) = 0        y'(0) = 1

  4. (4 valores) Encontre as trajectórias ortogonais da família de curvas x2 + y2 = k x , onde k é um parâmetro real.

  5. (4 valores) Considere a seguinte família de equações diferenciais, onde n é um parâmetro inteiro positivo
    x y''+ (1 - x)y'+ n y = 0
    Demonstre que existe uma família de polinómios de grau n que são soluções das respectivas equações (não precisa calcular os polinómios, só mostrar que existem).

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Jaime Villate